Aplicacion De Enteros Gaussianos

2.1 Bases para números reales
Los enteros positivos se pueden representar en cualquier base entera b > 1 usando [pic]como dígitos. Los sistemas decimal y binario son los más conocidos. Los enterospositivos y negativos se pueden representar en cualquier base b < −1, usando los dígitos desde 0 a[pic].
Se generalizará esto; para ello se considera un número [pic]₵ con [pic] como base, y unconjunto finito de números D = {d1, d2, · · · , dk}, llamados “dígitos", y se supone que [pic]. Los números “enteros" en esta base, son los que tienen la forma:
[pic] (2.1)2.3 Representación de los enteros Gaussianos

Se dice que el número complejo b es una “buena" base, si cada entero Gaussiano puede ser representado en la forma (2.1) en la base b, si esto noocurre se dice que b es una “mala" base. Por ejemplo en este sentido −2 es una buena base para R pues todos los números enteros se pueden representar en esta base de la forma (2.1), así: [pic], [pic], y[pic].
Para representar números complejos en bases complejas se ocupa un algoritmo de división semejante a la división entera. Se esboza aquí este método, para dividir [pic] por [pic]:
Se le dáeste nombre pues está formado de dos copias del Dragón de Heighway

[pic]

Figura 2.1 Twindragon y teselación fractal del plano.

[pic]


donde [pic] y [pic] son el residuo y el cociente dedividir [pic] por [pic], recordando que el residuo es no negativo y menor que [pic]. Se divide ahora [pic] por [pic] y se obtiene [pic], siguiendo este proceso, que para [pic] se sabe que es finito porser buena base, hasta que [pic] se tiene que [pic]. Como ejemplo, el número complejo −6 + 31i se representa en la base −2 + i como sigue:
[pic]

así [pic], es decir [pic].
Otras representacionesson por ejemplo: [pic], [pic], [pic], y [pic] . De estas dos últimas representaciones se pueden inferir las reglas de la suma en esta base.
Se considerarán algunas bases de números complejos y se...