Aplicacion de la derivada

Distribución binomial
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos sedenomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria Xsigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística. Ejemplos
Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:
* Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de treses obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6)
* Se lanza una moneda cuatroveces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(4, 1/2)
* Una partícula se mueve unidimensionalmente con probabilidad q de moverse hacia atrás y 1-q de moverse hacia adelante
* Multinomial:
* La distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial. En este caso, en un experimento interesa estudiar no la ocurrencia de un único suceso o la de sucontrario, sino la de varios sucesos (tres o más). La distribución

multinomial, M(n,p1,…,pn) proporciona probabilidades de obtener, en m repeticiones independientes de un experimento, x1 veces el suceso A1, x2 veces el suceso A2,…, xn veces el suceso An, donde dichos sucesos forman una partición del espacio muestral, es decir, tal que para y donde , por tanto, se cumple .
* Así,considerando que Xi es el número de veces que se presenta el suceso Ai en las m repeticiones tenemos que la variable n-dimensional (X1, X2, …, Xn) sigue una distribución multinomial de parámetros n, p1, …, pn y su función de probabilidad es
* para con .
* Hay que tener en cuenta que si (X1, X2, …, Xn) es una variable multidimensional entonces existe una relación lineal entre sus componentes yaque X1+ X2+ …+ Xn = m, por lo que, una de las variables, por ejemplo Xn, se puede poner como combinación lineal del resto, Xn=m-X1- X2- …- Xn-1. Por tanto, el fenómeno que describe la variable (X1, X2, …, Xn) queda igualmente descrito por una variable de una dimensión menor, (X1, X2, …, Xn-1), sin que esta pérdida de dimensión suponga una pérdida de información.
* Por ejemplo, una variablemultinomial de dimensión dos (X1, X2), M(n,p1,p2), se puede describir considerando una cualquiera de sus componentes que tiene una distribución binomial, por lo que en realidad esta variable es unidimensional y no bidimensional.
* Además, cada una de las n variables, Xi, que forman una multinomial M(n,p1,…,pn) siguen distribuciones binomiales B(m,pi), es decir, las distribuciones marginales deuna multinomial son binomiales, por tanto, la esperanza y la varianza de cada una de estas variables es, E[Xi]=m•pi y Var(Xi)=mpi(1-pi). Además la covarianza entre dos cualesquiera de sus componentes es, .
* Estos momentos de las variables componentes de una multinomial se pueden agrupar en forma de matriz dando lugar a las denominadas matriz de esperanzas y matriz de varianzas-covarianzas,que recogen las características teóricas principales de la distribución multinomial (medias, varianzas y covarianzas)
* Ejemplo: El entrenador de un equipo de baloncesto opina que los jugadores A, B y C tienen similares aptitudes para ser titulares del equipo en la posición de base. Así, determina que juegen el mismo número de minutos cada partido. Se sabe que el 40% de las canastas son de C,...