Aplicacion de la derivada

Ejercicios de Análisis Matemático Derivadas, límites y aplicaciones de las derivadas
1. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito cilíndrico si estamos vaciándolo a razón de 3000 litros por minuto? Solución. Sea r el radio del cilindro y h la altura medidos en decímetros. Sea V .t/ el volumen de agua, medido en litros (dcm3), que hay en el cilindro en el tiempo t medido enminutos. La información que nos dan es una tasa de variación V .t C 1/ V .t/ D 3000 litros por minuto

En este tipo de ejercicios la tasa de variación se interpreta como una derivada: V 0 .t/ D 3000. Fíjate que V .t C t0 / V .t0 / Ñ V 0 .t0 /t, por lo que la interpretación es razonable. El signo negativo de la derivada es obligado ya que el volumen disminuye con el tiempo. Como el radio esconstante pero la altura del agua depende del tiempo, tenemos V .t/ D  r 2 h.t/ y deducimos V 0 .t/ D 3000 D  r 2 h 0 .t/ Por tanto h 0 .t/ D 3000  r2 decímetros por minuto 3 metros por minuto. r2 V .t C 1/ V .t/ D r2 3000  r2

Si expresamos las medidas en metros, entonces h 0 .t/ D Observa que lo que realmente hemos calculado es: V .t C 1/ V .t/ D  r 2 .h.t C 1/ h.t// ÷ h.t C 1/

h.t/ Dque es la tasa de variación de la altura en un intervalo de 1 minuto. Pero, como ya te he dicho, en estos ejercicios se identifica la tasa de variación con una derivada, lo cual es, claro está, una aproximación. © 2. Un punto P se mueve sobre la parte de la parábola x D y 2 situada en el primer cuadrante de forma que su coordenada x está aumentando a razón de 5cm/sg. Calcular la velocidad a la queel punto P se aleja del origen cuando x D 9. Solución. Sean .x.t/; y.t// las coordenadas, medidas en centímetros, del punto P en el instante t medido en segundos. Nos dicen que y.t/ > 0 y que x.t/ D y.t/2 . La distancia del punto P al p origen viene dada por f .t/ D x.t/2 C y.t/2 , por lo que f 0 .t/ D x.t/x 0 .t/ C y.t/y 0 .t/ p x.t/2 C y.t/2

Lo que nos piden es f 0 .t0 / sabiendo que x.t0 /D 9. En tal caso ha de ser y.t0 / D 3. También x 0 .t0 / 5 conocemos x 0 .t/ D 5 (cm/sg). Con ello es fácil deducir el valor de y 0 .t0 / D D . Final2y.t0 / 6 mente, x.t0 /x 0 .t0 / C y.t0 /y 0 .t0 / 45 C 3.5=6/ 95 f 0 .t0 / D p D D p cm/sg 2 C y.t /2 81 C 9 6 10 x.t0 / 0

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Dpto. de Análisis Matemático

Universidad de Granada

Ejercicios de Análisis Matemático

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3. Se estállenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de 9 litros por segundo. Sabiendo que la altura del depósito es de 10 metros y el radio de la tapadera de 5 metros, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha alcanzado una profundidad de 6 metros? Solución. Expresaremos todas las medidas en metros. Si V .t/ es el volumen de agua que hay en el depósito 9 en el tiempo t medido ensegundos, nos dicen que V 0 .t/ D 3 m3 /sg. 10
R H

r h

1 Sabemos que V .t/ D  r .t/2 h.t/ donde h.t/ es la al3 tura, medida desde el vértice, alcanzada por el agua en el tiempo t y r .t/ es el radio de la sección transversal del cono a la distancia h.t/ desde el vértice. Por semer h D , de donde, janza de triángulos deducimos que R H R 1 1 r D r .t/ D h.t/ D h.t/. Luego V .t/ D  h.t/3 , y H 2 12V 0 .t/ D 9  D h.t/2 h 0 .t/: 3 4 10

Depósito cónico

Luego, cuando h.t0 / D 6, deducimos que 1; 146 m/h.

9  1 D 36h 0 .t0 /, esto es, h 0 .t0 / D 3 m/sg Ñ 3 10 4 10 

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4. El volumen de un cubo está aumentando a razón de 70 cm3 por minuto. ¿Con qué rapidez está aumentando el área cuando la longitud del lado es de 12 cm? Solución. Sea V .t/ el volumen del cubo, medido encentímetros cúbicos, en el tiempo t, medido en minutos. Si L.t/ es la longitud en centímetros del lado en el tiempo t, tenemos que V .t/ D V 0 .t/ L.t/3 , de donde, L 0 .t/ D . Como nos dicen que V 0 .t/ D 70 cm/min, deducimos que 3L.t/2 70 cuando L.t0 / D 12, L 0 .t0 / D . El área del cubo viene dada por S.t/ D 6L.t/2 , deducimos 3.12/2 70 que S 0 .t0 / D 12L.t0 /L 0 .t0 / D cm2 /min. © 3 5. Un barco A...