aplicacion de la derivada




MATEMÁTICAS BÁSICAS


APLICACIONES DE LA DERIVADA


A través del uso del concepto de derivada se logra conocer algunas propiedades relevantes de las funciones. El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica de las mismas, lo que posibilita su mejor entendimiento. El objetivo de este capítulo es obtener información de las funcionesa partir de su derivada y conocer más acerca de su comportamiento.


RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL DE UNA CURVA



Si una función
y f x

posee una derivada en el punto
dy

x1 , la curva tiene una tangente en
Px1 , y1 

cuya pendiente es: m1 tan

dx xx
f 'x1 .


Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendientedada es:
y y1 mx x1 . Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de la recta
tangente en un punto de una curva es:



y y1 
dy
dx xx

x x1 



Si m 0 tiene tangente horizontal a la curva. Si m 

tiene tangente vertical a la curva.



y
y = f(x)


Recta Normal



Recta angen




90°
P (x1,y1)




x

Una rectanormal a una curva en uno de sus puntos es la recta que pasando por dicho punto es perpendicular a la recta tangente en él.



La condición de perpendicular entre dos rectas es: m1 m2 1 
m 1
1
 1
dy

dx xx1





La ecuación de la recta normal en el punto
Px1 , y1 es:




y y1 
1
m1 xx

x x1 


Ejemplos.
Hallar las ecuaciones de lasrecta tangente y normal de las siguientes curvas en el punto indicado.



1) y 3x2 5x 4
P2, 6

Solución:

m dy 6x 5
1 dx


x2
625 12 5 7

y 6 7x 2 
y 6 7 x 14 
7x y 8 0
(recta tangente).

1
m2 
m1
1
7

y 6 1 x 2 
7
7y 6x 2 

7 y 42 x 2

 x 7y 44 0


2) y 9x3 12x 5(recta normal).

P1, 2

Solución:

m dy 27x2 12
1 dx


x1
2712 12 27 12 15

y 215x 1 
y 2 15x 1 
y 2 15x 15

 15x y 13 0
(recta tangente).

1
m2 
m1
1
15

y 21 x 1
15
 15y 2x 1

 15y 30 x 1

 x 15y 310
(recta normal).



3) y 1
x

P2, 1   2 Solución:

m dy 1
1 dx x 2



x2
1
22
1
4

y 1 1 x 2 
4y 1 x 2 

4 y 2 x 2 

x 4 y 4 0

 
2 4  2 
(recta tangente).
1 1

m2 
m1
 1 4

4





y 1 4x 2 
2
y 1 4x 8 
2

2 y 1 8x 16

 8x 2y 15 0
(recta normal).




4) x2 y 6x y 2 x2 4 y 12 0Solución:
P0,3



dy m1 
dx
f
 x
f
y


2xy 6 2xy2

x2 2x2 y 4






0,3

2036 2032

02 202 34


6
4


3
2

y 3 3 x 0 
2

2y 33x 

2 y 6 3x

 3x 2y 6 0
(recta tangente).

1
m2 
m1
1
6
4
4 2
6 3

y 3 2 x 0 
3
3y 32x

 3y 92x 

2x 3y 9 0

(recta normal).




5) y 7x4 12x2 4x
P1,9

Solución:

m dy 28x3 24x 4
1 dx


x1
2813 2414 28 24 4 0

y 9 0x 1 
1 1
y 9 0 
y 9
(recta tangente).

m2  
m1 0
(pendiente de 90°, o sea, es infinita)

y 9 1 x 1 
0
0y 9x 1 

0 x 1 

x 1

(rectanormal).

Gráficamente, esto es:

Re cta
y Normal


10
Recta Tangente
8

y = 9


6

4 f(x) = -7x4 + 12 x2 + 4x

2


-1 1 2 x
x = 1

ÁNGULO ENTRE DOS CURVAS
Dadas dos curvas cualesquiera, el ángulo de intersección entre ellas está dado por el ángulo formado por sus tangentes en el punto de intersección.
y
m2
Curva 2

m1 P (x,y)
Curva 1
x


El procedimiento para...