Aplicacion de la Derivada

APLICACIONES DE LA DERIVADA

5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES
Sea  una curva, y  un punto regular de esta, es decir, un punto no anguloso donde la curvaes diferenciable, y por tanto en  la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a  en  es la recta  que pasa por  y que tiene la misma dirección que  alrededor de .
La tangente es laposición límite de la recta secante () (el segmento  se llama cuerda de la curva), cuando  es un punto de  que se aproxima indefinidamente al punto  ( se desplaza sucesivamente por 
Si  es punto de unafunción f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta  tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde  son las coordenadas del punto  y  las del punto . Por lo tanto, lapendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es :

La recta ortogonal a la tangente  que pasa por el punto  se denomina rectanormal y su pendiente, en un sistema de coordenadas orto normales, es dada por . Siendo su ecuación:

Suponiendo, claro está que. Si  entonces la recta normal es simplemente  .

Ejemplo:
Dada lacurva de ecuación f(x) = x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.







5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DELAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL
En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entoncesexiste al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema loformuló Lagrange.
El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [a, b], diferenciable en el intervalo abierto...