aplicacion_de_la_derivada

Capítulo 14

Aplicaciones de la derivada

14.1 Movimiento sobre una Línea Recta
Aquí suponemos que una partícula P se está moviendo sobre una línea recta. Para simplificar, consideraremos que la línea es horizontal. El movimiento de la partícula está completamente determinado
si especificamos donde está ubicada la partícula P en cada instante de tiempo. Siguiendo un poco la
notación de los librosde física, denotamos por s la distancia dirigida sobre la línea, en vez de la acostumbrada letra x. Sea s = f (t) la función que nos da (o nos describe) la distancia dirigida desde el
origen a la partícula que se mueve P , en un tiempo t. Para una función f (t) dada, el movimiento de la
partícula está completamente determinado.
Por ejemplo, sea s = t2 9 en algunas unidades físicas convenientes.Para concretar, sea s medido
en centímetros y t en segundos. Esta ecuación nos dice que para t = 0; s = 9; o sea, la partícula P
se encuentra al lado izquierdo del origen y a una distancia de 9cm. En la figura 14.1, se describe el
movimiento de la partícula P para algunos valores de t indicados en la línea superior mientras que en
la línea inferior están los correspondientes valores dirigidos de s.Observe que para t = 3; s = 0; es
decir, la partícula pasa por el origen después de 3 segundos de haber iniciado su movimiento. Cuando
t = 10; P está al lado derecho del origen y a una distancia de 91 cm (ver figura 14.1).

t

0 1 2 3

8 9 10





-

s

   

   
55 72 91




-

9 8 5 0

Figura 14.1 posiciones s de la partícula en diferentes instantes t
La velocidad de P seencuentra tomando la distancia dirigida que ha viajado la partícula y dividiéndola por el tiempo requerido en cubrir dicha distancia. Esto es satisfactorio si la partícula P
se mueve uniformemente, esto es no va más rápido o más lento a medida que el tiempo transcurre.
Si el movimiento no es uniforme, como es el caso de nuestro ejemplo, este cociente (espacio recorrido/distancia) solo nos da unavelocidad promedio y este promedio no necesita ser constante. En el caso
de nuestro ejemplo si tomamos un intervalo de 2 segundos entre t = 1 y t = 3, la partícula se mueve
entre los puntos s = 8 a s = 0. Así la distancia recorrida
s = 0 ( 8) = 8 cm. La velocidad
promedio durante este intervalo de 2 segundos es
s =
t = 8=2 = 4 cm=seg . En cambio, si tomamos
un intervalo de 2 segundos comprendidosentre t = 8 y t = 10, la partícula se mueve entre los puntos
s = 55 y s = 91; es decir, una distancia de 36cm. La velocidad promedio durante estos dos segundos
es
s =
t = 36=2 = 18 cm=seg . Si movemos el intervalo de tiempo o cambiamos su longitud, obtendremos otros valores diferentes para la velocidad promedio. De estas consideraciones, es claro que lo

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Aplicaciones de la derivada
quedeseamos es tener una velocidad Velocidad Instantánea para algún valor fijo de t. Esta velocidad
instantánea es el valor límite que tiene la razón


s

t

cuando el intervalo de tiempo
t tiende a cero.
Definición: Si s = f (t) da la localización de una partícula que se mueve
sobre una línea recta, entonces v = v (t1 ); la velocidad instantánea en
t = t1 se define por la ecuación:

(14.1)


s
v(t1 )=
lim
!
0
t
t
f (t1 +
t ) f (t1 ) :
=
lim
!
0

t
t

La velocidad instantánea es llamada simplemente velocidad y llamaremos rapidez1 de la partícula al
valor absoluto de la velocidad. Es claro que la velocidad es la derivada de f (t) y podemos escribir
(14.2)

0
v = v(t) = f 0 (t) = ds
dt = s (t):

y seleccione la notación que le parezca más conveniente
Definición: Llamaremos aceleración de unapartícula a la variación
instantánea de la velocidad. Si denotamos por a = a(t) a esta cantidad,
tenemos:

v(t +
t ) v(t)
a = a(t) =
lim

t
v !0


dv
v
(14.3)
=
lim
= dt :
t !0
t
ds , se sigue
Como v =
dt
a = dtd ( ds
dt )
2
00
(14.4)
= ds
2
dt = s (t):
En palabras, la aceleración de una partícula que se mueve sobre una línea recta es la segunda derivada con respecto al tiempo de la función...