Aplicacion De La Integral

TEMA 1. LONGITUD DE CURVA.

Determinación longitud de un arco irregular segmento-también llamado rectificación de a curva- era históricamente difícil. Aunque muchos métodos fueron utilizados para las curvas específicas, el advenimiento de cálculo conducido a una fórmula general que proporciona soluciones en algunos casos.
Definición exacta
Elija un número finito de puntos a lo largo de unacurva y conecte cada punto con el siguiente con una línea recta. La suma de las longitudes de tal línea segmentos es la longitud del “trayectoria poligonal".
Definición: longitud de la curva está el número más pequeño que tales longitudes de trayectorias poligonales pueden nunca exceder, no importa que tan cerca o juntos los puntos finales estén. En la lengua de matemáticos, la longitud del arcoes supremum de todas las longitudes de tales trayectorias poligonales. Esta definición no requiere la curva ser “alisa”; no necesita ser el gráfico o la imagen de una función diferenciable.
Forma integral
Antes del desarrollo formal completo del cálculo, la base para la forma integral moderna para la longitud del arco fue descubierta independientemente cerca Hendrik van Heuraet y Pierre Fermat.En 1659 van Heuraet publicó una demostración de la construcción que la longitud del arco se podría interpretar como el área debajo de una curva - este integral, en efecto - y aplicarle a parábola. En 1660, Fermat publicó una teoría más general que contenía el mismo resultado en la suya Curvarum de De linearum cum geometrica del dissertatio del comparatione de los rectis de los lineis.
El edificoen su trabajo previo con tangentes, Fermat utilizó la curva cuyo tangente en x = a tenía a cuesta de la línea de la tangente tendría tan la ecuación. Después, él aumentó a por una cantidad pequeña a a + ε, haciendo el segmento CA una aproximación relativamente buena para la longitud de la curva de A a D. Para encontrar la longitud del segmento CA, él utilizó Teorema Pythagorean: cuál, cuando estásolucionada, rinde. Para aproximar la longitud, Fermat resumiría una secuencia de segmentos cortos.
Curvas con longitud infinita
Según lo mencionado arriba, algunas curvas son non-rectifiable, es decir, tienen longitud infinita. Un tal ejemplo es justo una línea, pero la línea es non-rectifiable por razones algo triviales. Hay las curvas continuas para las cuales cualquier arco en la curva (quecontiene más que un solo punto), tiene longitud infinita. Un ejemplo de tal curva es Curva de Koch. Un ejemplo menos extremo de una curva con longitud infinita es el gráfico de la función en la gama, donde tomamos f (0) = 0. A veces, Dimensión de Hausdorff y Medida de Hausdorff se utilizan “medir” el tamaño de las curvas infinitas de la longitud.

Métodos modernos
Al considerar unacurva definida por una función y su respectiva derivada que son continúas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
(1)
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como y, la longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante:
(2)
Si la función está definida por coordenadas polaresdonde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el intervalo , toma la forma:
(3)
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segundo orden.
Entre lascurvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.
Deducción de la fórmula para funciones de una variable

Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto a a uno b....