Aplicacion de la Ley de Gauss
Páginas: 6 (1292 palabras)
Publicado: 16 de octubre de 2013
Ciencia…Ahora, nº 23, año 12, enero a junio 2009.
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS
Félix Borotto y Joaquín Díaz de Valdés
Departamento de Física, Universidad de Concepción
En la mayoría de los programas de ingeniería, los estudiantes deben cursar electromagnetismo,
donde se les presenta un espectro amplio de dificultades, que van desde haber olvidado las
herramientas del cálculodiferencial hasta no entender las leyes que se enseñan en el curso, a
pesar que la mayoría de estas son relativamente simples. Todo esto lleva a que ambos,
estudiante y profesor, deben realizar un mayor esfuerzo. Por una parte el profesor debe
empezar el curso con un breve resumen de cálculo y el estudiante debe comenzar a integrar
herramientas matemáticas y nuevos conceptos físicos.
El objetivo deeste artículo es ayudar a los estudiantes a entender la ley de Gauss. Por otra
parte para mostrar a los profesores los puntos donde los alumnos presentan dificultades, de
esta forma poder desarrollar una metodología o estrategia con el fin de mejorar el aprendizaje,
en relación a esta ley. Para esto mostraremos dos ejemplos clásicos, uno para un plano muy
extenso uniformemente cargado y el otropara una esfera con una distribución de carga.
Ley de Gauss
El flujo de campo eléctrico neto sobre una superficie cerrada arbitraria es directamente
proporcional a la carga neta encerrada, matemáticamente se expresa como:
r r q
E ⋅ dS = ,
∫
ε0
donde ε0 es la permitividad eléctrica del vacío.
A está relación se le conoce como ley de Gauss por ser equivalente a la ley de Coulomb. Lasuperficie cerrada es llamada gaussiana. Intuitivamente una superficie cerrada en el espacio
tridimensional es cualquier superficie que encierra un volumen, dividiendo a dicho espacio en
una región "acotada" y una región "no acotada".
La ley de Gauss es una relación fundamental que conecta el medio, las cargas eléctricas y el
flujo de campo eléctrico. Puede ser aplicada para obtener el módulo delcampo eléctrico sólo
cuando existe un alto grado de simetría de los cuerpos cargados, como en el caso de una
esfera, cilindro muy largo, alambres muy largos y planos extensos uniformemente cargados.
A continuación mostraremos dos ejemplos detallados del uso de la ley de Gauss:
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Ciencia…Ahora, nº 23, año 12, enero a junio 2009.
Ejemplo 1
En primer lugar, calculamos el campo creadopor una placa plana infinita sin grosor, cargada
con una densidad uniforme de carga σ, como muestra la figura.
Para una placa infinita cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes
pasos:
1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección y sentido del
campo eléctrico.
La dirección del campo es perpendicular a la placa cargada, haciaafuera si la carga
es positiva y hacia la placa si la carga es negativa.
2.-Elegir una superficie cerrada y apropiada para calcular el flujo, es decir, una superficie
sobre la cual la magnitud del campo sea constante o que la contribución al flujo sea nula.
Tomamos como superficie gaussiana, un cilindro de base S, cuya generatriz es
perpendicular a la placa cargada. El cilindro se compone de 2tapas y el manto o
superficie lateral, cada tapa está a la misma distancia del plano cargado.
Debido a la simetría, el campo eléctrico debe tener el mismo módulo sobre cada
elemento que componen las tapas. El flujo a través de las bases del cilindro es fácil de
calcular ya que el campo y el vector superficie son paralelos. Además, el flujo a través
del manto del cilindro es cero, ya que el campoE es perpendicular al vector superficie
dS.
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Ciencia…Ahora, nº 23, año 12, enero a junio 2009.
∫ E ⋅ dS = ∫
r r
E ⋅ dS1 +
r r
E ⋅ dS =
∫
E ⋅ dS1 +
r
r
Tapa1
∫
∫
r r
E ⋅ dS 2 +
∫
E ⋅ dS 2 + 0 = 2 ES
Tapa 2
Tapa1
∫
r r
E ⋅ dS
Manto
Tapa 2
Luego el flujo total es 2E S
3. Determinar la carga que hay en el interior de la...
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS
Félix Borotto y Joaquín Díaz de Valdés
Departamento de Física, Universidad de Concepción
En la mayoría de los programas de ingeniería, los estudiantes deben cursar electromagnetismo,
donde se les presenta un espectro amplio de dificultades, que van desde haber olvidado las
herramientas del cálculodiferencial hasta no entender las leyes que se enseñan en el curso, a
pesar que la mayoría de estas son relativamente simples. Todo esto lleva a que ambos,
estudiante y profesor, deben realizar un mayor esfuerzo. Por una parte el profesor debe
empezar el curso con un breve resumen de cálculo y el estudiante debe comenzar a integrar
herramientas matemáticas y nuevos conceptos físicos.
El objetivo deeste artículo es ayudar a los estudiantes a entender la ley de Gauss. Por otra
parte para mostrar a los profesores los puntos donde los alumnos presentan dificultades, de
esta forma poder desarrollar una metodología o estrategia con el fin de mejorar el aprendizaje,
en relación a esta ley. Para esto mostraremos dos ejemplos clásicos, uno para un plano muy
extenso uniformemente cargado y el otropara una esfera con una distribución de carga.
Ley de Gauss
El flujo de campo eléctrico neto sobre una superficie cerrada arbitraria es directamente
proporcional a la carga neta encerrada, matemáticamente se expresa como:
r r q
E ⋅ dS = ,
∫
ε0
donde ε0 es la permitividad eléctrica del vacío.
A está relación se le conoce como ley de Gauss por ser equivalente a la ley de Coulomb. Lasuperficie cerrada es llamada gaussiana. Intuitivamente una superficie cerrada en el espacio
tridimensional es cualquier superficie que encierra un volumen, dividiendo a dicho espacio en
una región "acotada" y una región "no acotada".
La ley de Gauss es una relación fundamental que conecta el medio, las cargas eléctricas y el
flujo de campo eléctrico. Puede ser aplicada para obtener el módulo delcampo eléctrico sólo
cuando existe un alto grado de simetría de los cuerpos cargados, como en el caso de una
esfera, cilindro muy largo, alambres muy largos y planos extensos uniformemente cargados.
A continuación mostraremos dos ejemplos detallados del uso de la ley de Gauss:
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Ciencia…Ahora, nº 23, año 12, enero a junio 2009.
Ejemplo 1
En primer lugar, calculamos el campo creadopor una placa plana infinita sin grosor, cargada
con una densidad uniforme de carga σ, como muestra la figura.
Para una placa infinita cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes
pasos:
1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección y sentido del
campo eléctrico.
La dirección del campo es perpendicular a la placa cargada, haciaafuera si la carga
es positiva y hacia la placa si la carga es negativa.
2.-Elegir una superficie cerrada y apropiada para calcular el flujo, es decir, una superficie
sobre la cual la magnitud del campo sea constante o que la contribución al flujo sea nula.
Tomamos como superficie gaussiana, un cilindro de base S, cuya generatriz es
perpendicular a la placa cargada. El cilindro se compone de 2tapas y el manto o
superficie lateral, cada tapa está a la misma distancia del plano cargado.
Debido a la simetría, el campo eléctrico debe tener el mismo módulo sobre cada
elemento que componen las tapas. El flujo a través de las bases del cilindro es fácil de
calcular ya que el campo y el vector superficie son paralelos. Además, el flujo a través
del manto del cilindro es cero, ya que el campoE es perpendicular al vector superficie
dS.
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Ciencia…Ahora, nº 23, año 12, enero a junio 2009.
∫ E ⋅ dS = ∫
r r
E ⋅ dS1 +
r r
E ⋅ dS =
∫
E ⋅ dS1 +
r
r
Tapa1
∫
∫
r r
E ⋅ dS 2 +
∫
E ⋅ dS 2 + 0 = 2 ES
Tapa 2
Tapa1
∫
r r
E ⋅ dS
Manto
Tapa 2
Luego el flujo total es 2E S
3. Determinar la carga que hay en el interior de la...
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