Aplicacion de la serie de taylos en la vida cotodiana

LA SERIE DE TAYLOR: CIRCUITO ELECTRICO
Propuesta: “Existen razones teóricas para creer que las característica de volts – amperes de un diodo termiónico es una función con potencia de tres medios”:
i = k 1
v E b+32
Previo al análisis de esta propuesta veamos los siguientes conceptos:
! La potencia en Watts: Es la “potencia real” consumida por el equipo.
! Volts – amperes: Es la “potenciaaparente” del equipo, y es el producto de la tensión aplicada y la
corriente que por el circula. El valor en VA es utilizado para dimensionar correctamente los cables y los
circuitos de protección.
! Diodo: Son dispositivos unidireccionales, por tanto por ellos no puede circular la corriente en sentido
contrario al de conducción. La principal aplicación del diodo es la obtención de una tensióncontinua a
partir de una fuente de corriente alterna lo cual ocurre porque deja circular corriente a través suyo
cuando se conecta el polo positivo de la fuente al ánodo, y el negativo al cátodo, y se opone al paso de
la misma si se realiza la conexión opuesta de forma que realiza así la conversión de corriente alterna en
continua al permitir solo el paso de las alternancia positiva. A esteproceso se llama rectificación.
! Rectificador: Circuito cuya base es el diodo. De un circuito rectificador se obtiene tensión continua
partiendo de una tensión alterna.
! Voltaje alterno: La diferencia de potencia entre dos puntos de un campo electrostático es la diferencia
entre los potenciales de dichos puntos; puesto que los potenciales se expresan en voltios, la diferencia
de potencial seexpresará también en voltios. El concepto de diferencia de potencial es
extraordinariamente importante, tanto en electrostática como en los circuitos eléctricos. Los ingenieros
electricistas utilizan la palabra voltaje al referirse a la diferencia de potencial.
Consideremos la representación de una curva por una serie de potencias. Una curva i se muestra en la
siguiente figura; puesto que esuna función de v la marcamos en notación funcional, i (v). Podemos saber
o no, la ecuación para esta i (v), pero de algún modo conocemos el valor de i (v) y los de todas sus
derivadas en el punto P en el que v = v0 . Esto es, en notación funcional, conocemos i(v0 ) i’(v0 )
i’’(v0 ) , etc.
Se va a encontrar una serie de potencias para aproximar esta función cerca del punto P. La serie seríaigual a la función en el punto P y sería una buena aproximación para cierta distancia en ambos lados de
este punto.
La diferencia entre el voltaje v0 en el punto P y el voltaje v en algún otro punto a lo largo de la curva v -
v0 . Escribiremos una serie de potencias en función de esta diferencia:
a1(v v0) a2(v v0)
2 + a 3(v v0)
3 + + ...
Deseamos esta serie igual a i (v) en el punto P, donde v= v0, y que sea una buena aproximación de i (v)
para valores de v cerca de v0. Esto es, cuando una curva se traza para la serie, como en la figura,
deseamos que la curva de la serie coincida con la curva para i (v) en el punto P y que sea lo más cercana
posible a la curva a lo largo de cierta distancia en cada lado de P.
Matemática Superior Aplicada Wilo Carpio Cáceres 01/04/05 37
S E R I E SGRAFICA: Aproximación de una función por la serie de Taylor
i
a2 (v - v0)
v0
P
a1 (v - v0)
v
a0 + a1( v - v0)
i (v) a0 + a1(v - v0) + a2(v - v0)
Primero para hacer la serie igual a i (v) en P, donde v = v0 e i(v) = i (v0 )
Sustituimos v0 por v en la serie, y hacemos la serie igual a i (v0 ), obteniendo:
i (v0) = a0 + 0 + 0 + 0 + ...
Así, encontramos que a0 , deberá ser igual a i (v0) , y esto es suficiente para hacer i(v) igual a a0
en el punto P. Pero a0 no es una aproximación de i (v) en otros puntos. Gráficamente, la línea
horizontal a0 intercepta la curva para i (v) en el punto (v0, io) como se muestra en la figura, pero en
otra parte no está ni siquiera cercana a la curva.
Por lo tanto, consideremos a continuación el segundo término de la serie. Escribimos, como...