Aplicacion de las derivadas

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

1. INTRODUCCIÓN

El objetivo de este tema es utilizar la derivada como herramienta para calcular representaciones gráficas de funciones, resolver problemas que se presentan en nuestra realidad y que permita resolver el cálculo, además de la estimación de errores de aproximación.

1.1. Definición de máximos y mínimos

1. un número M se dice valor máximo ovalor máximo absoluto de una función f si:

a) f (x) = m,
b) f (x) = para al menos un a x
3. A un valor k máximo o mínimo de una función f, se cono ce como valor extremo de f
Ejemplos:

Representación gráfica de los extremos de f (x) = x2, f (x) = 1-x

2. APLICACIONES DE MÁXIMOS, MÍNIMOS

Usando los conceptos de Máximos, Mínimos y Puntos Críticos es posible plantear problemas deAplicación Práctica de las Derivadas.
Para resolver problemas de aplicación de Máximos y mínimos, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Identificar claramente al concepto que se busca maximizar o minimizar.
2. Bosquejar una gráfica del problema. (Si Corresponde)
3. Formar la Función del concepto a maximizar o minimizar, usando todas las variables auxiliares que se requieran.
4. Usandocondiciones o datos del problema, eliminar a las variables auxiliares, de manera tal que quede una ola variable.
5. Derivar, igualar a cero, etc. 8Claculando los máximos y mínimos requeridos).

Ejemplos:
• Se trata de hallar dos números, cuyo producto sea Máximo, si su suma es: 8
Algunos pares de suma 8, determinan los productos:
Se procura hallar aquellos dos números que determinan el mayorProducto posible con la condición de suma 8.

Resolviendo el problema, según las Reglas aconsejadas.
P; P=xu Se busca maximizar el producto: P. si el par de Números es
x, u (u es la variable auxiliar).
x + u =8 u =8 – x Es x, u (u es la variable auxiliar)
P(x)=x (8-x) = 8x-x La suma del par denúmeros es 8 (Despejando u) y
reemplazando u en la Función Producto.
P‘(x)= 8 -2x=0 x=4 Derivando e igualando a cero, se tiene x=4 (Punto Crítico).
u=8 – x =8 – 4=4 Calculando luego el valor de u=4.
Pmáx=4*4=16Calculando el producto Máximo en P=xu.

Sin embargo faltaría comprobar que el punto Crítico hallado es efectivamente un Máximo (Verificación usualmente innecesaria); Para ello se usa el Criterio de la segunda derivada:

= -2 0 o f (x) < 0.
En caso que f (x) > 0 y como f es continua en [a,b], por el tema del valor extremos resulta que f tiene un valor máximo en algún punto c…..[a,b], pues f(a) = f (b) = 0 y además f es derivable en cualquier punto de (a,b), en particular en c ……(a,b), por tanto f¨(c) = 0
Por otro lado si f (x) < 0 y como f es continua en [a,b], por el teorema del valor extremo resulta que f tiene un valor mínimo en algún punto c ….[a,b], pues se conoce que f (a) = f (b) = 0 y además f es derivable en cualquier punto de (a,b), en particular en c ….(a,b), por tantof¨ (c) = 0. con lo que se ha demostrado el teorema.
Ejemplo:
El polinomio f (x) = x3 – 4x es continua y diferenciable en R, además si a = -2, a = 2, f (a) = f (b) = 0, de modo satisface la hipótesis para el teorema de Rolle, entonces existe c… (a, b), c…. (a, b), c =…………, gráficamente lo demostramos a continuación.

3.2. Teorema del valor medio.
Este teorema es una generalización delteorema de Rolle.
Teorema de Lagrange:
Sea y = f (x) continua en [a, b] y derivable en (a, b).
Entonces existe por lo menos un número c…. (a, b), tal que:

f¨ (x) = f (b) – (a)
b – a

de la anterior gráfica la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f (b)) está dada como:

f (x) – f (a) = f (b) – f (a) (x – a)
b – a

sea F (x) = (f (x) – f (b) – f (a) (x...