Aplicacion de las derivadas

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lollamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente minimo.
Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos criticos.

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.

* Obtener la primera derivada.
* Igualar la primera derivada a cero y resolver laecuación.

* El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.
* Se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico esmínimo.
* Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.
* Sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datosasí obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico
*

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

* Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arribay la segunda derivada es positiva.
* calcular la primera y segunda derivadas
* igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
* sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.
* Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo.
* Si el resultado fuera cero, no se puedeafirmar si hay o no un máximo o mínimo.
* sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

Teorema de Bolzano

El Teorema de Bolzano afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entonces existe almenos una raíz de la función en el interior del intervalo
En palabras más simples, lo que viene a decir el teorema de Bolzano es lo siguiente:

Suponiendo que el eje de abscisas (eje x) fuese un río, y el segmento (a, b) un camino que hemos de seguir: si en el punto a, la gráfica está en un lado del río (tiene valor negativo) y en el punto b está en el otro lado del río(tiene valor positivo) y lagráfica es contínua en ese segmento, lógica y obligatoriamente ha de cortar por lo menos en un punto con el eje x (el río).

Demostración

* Suponer que f(a) < 0 y f(b) > 0 (en caso contrario se demuestra de manera análoga)
* Sea Z1 = (a + b)/2
* Si f(Z1) = 0, ya estaría con c = Z1, sino hay dos posibilidades, f(Z1) > 0 y f(Z1) < 0
* Si f(Z1) > 0, entonces X1 =a e Y1=Z1
* Si f(Z1) < 0, entonces X1 = Z1 e Y1 = b
Teorema de Weierstrass

* Las funciones continuas en un intervalo cerrado gozan de una propiedad interesante, recogida en el siguiente teorema:
* Hipótesis: Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] entonces
* Tesis: Hay al menos dos puntos x1,x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos...