aplicacion de las transformaciones lineales

APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES:
REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACIÓN.
INTRODUCCION
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector paraconvertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizarfunciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales sepueden representar en términos de matrices, y viceversa. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Lastransformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes.
 
Las transformaciones linealestienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática. Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos.


DEFINICIONEJEMPLOS
Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)
Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo )

Sea   un ángulo medido en radianes.Queremos averiguar  cual es la transformación  T  de 

  en  que gira cada vector 

 un ángulo , para obtener un vector


En una gráfica, vemos la situación como sigue:
Si usamos las funcionestrigonométricas, tenemos que:




Distribuyendo y usando el hecho de que 

 y 

          tenemos que:




Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación

 talque 

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo

 y es lineal, ya que:








Ejemplo 8.  (Reflexión sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como está...