Aplicacion de momentos de fuerza

MOMENTO DE MASA
Trataremos varias aplicaciones importantes de la integración, que se refieren al concepto de
masa. La masa se considera una medida absoluta de la cantidad de materia de un cuerpo, sin embargo, son tantas las aplicaciones en que aparece la masa en la superficie terrestre, que tendemos a igualar la masa de un objeto con su peso. Esto es técnicamente incorrecto. El peso, es untipo de fuerza y, como tal, depende de la gravedad. Fuerza y masa se hayan relacionados por la ecuación

Fuerza = Masa Aceleración ( F = m. a )

Antes de introducir el concepto de centroide, conviene recordar el concepto de momento de masa respecto a un punto.
Sobre una varilla de peso y espesor no significativos existe un sistema de partículas, cada una con masa mi y ubicadas a xiunidades de distancia del origen , . El sistema puede quedar balanceado o no dependiendo del tamaño de las masas y de como están distribuídas.
Cada masa mk , ejerce una fuerza hacia abajo dada por
Fk = mk.g
estas fuerzas tienden a hacer girar el eje alrededor de su origen (Efecto torque ).
El torque del sistema es


NOTA . El sistema está en equilibrio si el torque es cero.

Definición:Sean m1, m2,m3,…,mn masas situadas en x1,x2,x3,…, xn sobre el eje X . Entonces:
1. El momento de masa con respecto del origen es

2. La masa total del sistema es

3. Centro de masa , es el punto , donde se colocaría el punto de apoyo para obtener el equilibrio estático. Es como si se colocara toda la masa en él.

CENTRO DE MASA DE UNA VARILLA

Si se tiene una varilla nohomogénea, entonces la densidad lineal ρ varía a lo largo de la varilla. Si L es la longitud de la varilla y ρ(x) slug/p representa la densidad lineal en el punto x; ρ es continua en [ 0 , L] , la masa de la i-ésima partición de la varilla será

Y el momento de masa con respecto al origen de la partición i-ésima es:

De allí que la masa y el momento de masa de la varilla serán

Definición.Si ρ(x) slug/p representa la densidad lineal en el punto x de una varilla de longitud L; ρ es continua en [ 0 , L] ,entonces
1. La masa de la varilla es :
2. El momento de masa es :
3. El centro de masa es
NOTA.- Si la varilla es homogénea , entonces su masa es proporcional a su longitud, m = kL

Ejemplo1. La longitud de una varilla es 9 pulgadas y la densidad lineal en un puntoa x pies de un extremo es (4x+1) slug-pie . Hallar m y m0.
Solución


Ejemplo2. La medida de la densidad lineal en un punto de una varilla varía directamente proporcional con el cubo de la medida de la distancia del punto desde un extremo. La varilla mide 4 pies y la densidad de la varilla es de 2 pies en el centro. Hallar
Solución




Luego ,entonces

CENTRO DE MASA DE UNAREGION PLANA
Podemos extender el concepto de momento a dos dimensiones considerando un sistema de masas situadas en los puntos (x1, y1), (x2 , y2), (x3, y3),…, (xn, yn) pero en lugar de definir un único momento (con respecto al origen),definimos dos momentos, uno respecto al eje X y otro respecto al eje Y.
Consideramos una placa plana de un material de densidad uniforme ( la llamaremos lámina).Intuitivamente, vemos el centro de masas (x,y) de la lámina como supunto de equilibrio. Es como si toda la masa estuviera concentrada en el punto ( x, y) , por tanto es el punto de equilibrio estático.
Si se tratara de una lámina plana de densidad uniforme, ρ, el centro de masas sería el centro geométrico de la lámina. Así, en el caso de un rectángulo, el centro de masas es el punto de corte desus diagonales( centro del rectángulo) , en un círculo su centro, en un triángulo su baricentro, etcétera. Si la lámina es simétrica con respecto a una recta, entonces el centro de masa se encuentra sobre el eje de simetría.
Considérese una lámina plana de contornos irregulares y densidad uniforme limitada por las gráficas de yf(x) ,yg(x) , sobre [a , b]. La masa de esta región será:
m =...