Aplicacion Lineal

Aplicación lineal
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Para otros usos de este término, véase Función lineal (desambiguación).
No debe confundirse con Función lineal.
En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por unescalar.
En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.
Contenido * 1 Definición * 2 Ejemplos * 2.1 Transformación lineal identidad * 2.2 Homotecias * 3 Propiedades de las transformaciones lineales * 4 Teoremafundamental de las transformaciones lineales * 5 Clasificación de las transformaciones lineales * 6 Matriz asociada a una transformación lineal * 7 Véase también * 8 Referencias * 8.1 Enlaces externos |
Definición
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:Sean y espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo , y una función de en . es una transformación lineal si para todo par de vectores y pertenecientes a y para todo escalar perteneciente a , se satisface que:
1.
2. donde k es un escalar.
Ejemplos
Transformación lineal identidad

Homotecias
con
Si k > 1 se denominan dilataciones
Si k < 1 se denominan contracciones
Verartículo sobre Homotecias
Propiedades de las transformaciones lineales
Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:
Si es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo delcodominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:
1. dado que
2. Dados
3. Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
* La imagen de toda transformación lineal es unsubespacio del codominio.
* El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

una función lineal es la correspondencia
Teorema fundamental de las transformaciones lineales
* Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal T: V → W que satisface:Clasificación de las transformaciones lineales
1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.
2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva (suryectiva).
3. Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y suryectiva)
Matriz asociada a una transformación lineal
Según la teoría de Brevis-Devaud, una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de loselementos de una base.
Dada T: V → W, con B = {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1.
T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp
Entonces:
coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)
Y la matriz asociada a T, en las bases B y C,es la matriz res/sub>(v2), ..., coordC(vn))
Véase también
Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:

Consecuencias
* Un subespacio vectorial que cumple las dos condiciones anteriores es un espacio vectorial.
 [Mostrar] Demostración |
Notaciones
Dado un subespacio vectorial, se tiene:
Para i) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto....