Aplicacion sensores capacitivos

cioSoluci´n examen Septiembre 2003 Instrumentaci´n Electr´nica o o o

4o IIND

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Sensor capacitivo
R − + R Vs C R R vo

En el circuito de la figura el condensador C es un sensor de desplazamiento capacitivo, cuya capacidad viene dada por la 1 expresi´n: C = C0 o , siendo 1 + x/x0 C0 = 100 nF y x0 = 1 mm. El operacional es ideal y la realimentaci´n es negativa. o

1. Obtener laexpresi´n de la funci´n de transferencia Vo (s)/Vs (s) en o o funci´n de C. o ˆ 2. Para Vs (t) = Vs sin(ωt), determinar la expresi´n de la tensi´n de o o salida en funci´n de x. o 3. Representar, indicando las cotas m´s relevantes en ambos ejes, las a tensiones de entrada y de salida en funci´n del tiempo para x = o 1mm, R = 10 kΩ y Vs senoidal de 1 kHz y 10 V de amplitud.

Soluci´n apartado 1 o
I(s) R3

VP − +

R

1

I(s)
2

vo I(s) IC(s)

R Vs IS(s)

P VP

R

1 sC

A la izquierda est´ el a circuito despu´s de la e transformaci´n en s. o Gracias al cortocircuito virtual, podemos deducir que las dos resistencias marcadas con 1 y 2 tienen las misma tensi´n, o y entonces las corrientes que fluyen en ellas son iguales. Lo mismo pasa a la corriente en la resistencia marcada con3.

1

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Escribiendo la ecuaciones al nudo P: Is (s) = Ic (s) + I(s) (1)

Escribiendo la malla indicada en la figura en l´ ınea discontinua, tenemos que: Vs = RIs − RI =⇒ Vs = R(Ic + I) − RI =⇒ Ic = Vs R (2)

El circuito es el cl´sico conversor tensi´n-corriente con referencia a tierra a o (p´g. 126 y siguientesen el Coughlin-Driscoll sexta edici´n), con una a o capacidad como impedancia de carga. La tensi´n en el condensador es, entonces: o Vp = Ic Vs = sC sRC (3)

y la corriente I se puede calcular f´cilmente en la resistencia marcada a con 3: I=− Vp R (4)

Concluyendo la tensi´n de salida y la funci´n de transferencia valen: o o Vo = Vp − RI = 2Vp = Vo (s) 2 2Vs =⇒ = sRC Vs (s) sRC (5)

Laecuaci´n 5 representa la funci´n de transferencia de un integrador o o ideal sin inversi´n. En el tiempo se traduce en: o vo (t) = 2 RC vs (τ ) dτ (6)

Soluci´n apartado 2 o
En condiciones de r´gimen sinusoidal permanente, podemos utilizar la e funci´n de transferencia en jω: o Vo (jω) 1 = Vs (jω) jωRC (7)

ˆ Con entrada un fasor de amplitud Vs y fase nula. A la salida tenemos: Vo = 2 ˆ Vs jωRC(8)

2

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ˆ O sea un fasor con amplitud 2Vs /ωRC y con fase de 90◦ en retraso, o sea: vo (t) = − ˆ 2Vs cos(ωt) ωRC (9)

Substituyendo el valor de C, obtenemos al final: vo (t) = − ˆ 2Vs x 1+ cos(ωt) ωRC0 x0 (10)

Soluci´n apartado 3 o
Se trata simplemente de calcular la amplitud de la sinusoidal de salida.Substituyendo en la ultima ecuaci´n: ´ o vo (t) = − 2 · 10 1 1+ cos(ωt) 2π 1 · 103 10 · 103 100 · 10−9 1 (11)

Operando resulta una amplitud de 6.36 V.
V (V) 10

VS Vo

5

0

−5

−10 0 0.5 1 1.5 t (ms) 2

3

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Acondicionamiento de PTC

Se desea aplicar el siguiente circuito a la medida de latemperatura ambiente en el margen de 0 ◦ C a 40 ◦ C, para obtener una tensi´n de salida o de 0 V a 0 ◦ C y de 12 V a 40 ◦ C. El sensor es una PTC linealizada con coeficiente de temperatura α = 0.75 %/K y resistencia 2000 Ω a 25 ◦ C, que tolera una corriente de 1 mA sin autocalentarse. Considerando ideal el amplificador operacional, se pide dise˜ar el circuito (VCC , R y R1 ) para n obtener la respuestadeseada sin autocalentamiento.

R VCC

R − V1 R2=1 kΩ − +

R1

R

Rt

+

A1

vo A2

Soluci´n. o
El segundo operacional est´ puesto en configuraci´n de amplificaci´n a o o con inversi´n; el primero linealiza el puente formado por las tres R y la o PTC. Vamos a resolver esta parte. El operacional est´ en realimentaci´n a o negativa (n´tese que la salida no tiene efecto sobre la tensi´n...