Aplicacion

amPruebe que la caja rectangular (incluyendo la tapa y la base) de volumen fijo v=27u³ y menor área es un cubo. A(x,y,z)= 2xy+2yz+2xz

Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar,en este caso, es la función capacidad o volumen de una caja rectangular o de un paralelepípedo rectangular. Entonces debemos escribir la llamada función del volumen de la caja de acuerdo a suexpresión geométrica.

v=xyz
Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, dada por la superficie que debe poseer dicha caja, que es de 64 cm. cuadrados. Escribimos el área de la superficie(A):
A=2xy+2yz+2xz
Determinamos los gradientes.
a) primero de la función a maximizar, la función
 
vx=yz
vy=xz
vz=xy
∇v=(yz,xz,xy)

b) luego el gradiente de la restricción

Ax=2y+2zAy=2x+2z
Az=2x+2y
∇A=(2y+2z,2x+2z,+2x+2y)
  
La ecuación de Lagrange se escribe:

yz,xz,xy=λ(2y+2z,2x+2z,+2x+2y)

Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cadacomponente:

yz=λ2y+2z…………ec.1
xz=λ2x+2z…………ec.2
xy=λ2x+2y…………ec.3
2xy+2yz+2xz=27…ec.4

Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos para estos casos. Enparticular, en este caso se multiplicara la ec.1 por x, la ec.2 por  y, la ec.3 por z.

Quedan así las ecuaciones:

xyz=2λxy+2λxz………ec.5
xyz=2λxy+2λyz………ec.6
xyz=2λxz+2λyz………ec.7

Fíjeseque las tres ecuaciones poseen igual los primeros términos (xyz), así que los igualaremos a través de ellos.

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6:

2λxy+2λxz=2λxy+2λyz
2λxz=2λyz
x=y

Al igualarlas ecuaciones nº 5 y nº 7:

2λxy+2λxz=2λxz+2λyz
2λxy=2λyz
x=z
Así que se tiene:
x =y = z

Se escribe la ecuación nº4 en función de una sola variable:

2xy+2yz+2xz=27…ec.4

respecto de xpor ejemplo, queda:

2x2+2x2+2x2=27
6x2=27
x2=92
x=±92

Por representar x una distancia se toma el valor positivo, así que:
 
x=y=z=92

 y se concluye que: el volumen máximo para la...