Aplicaciones Cálculo Diferencial

I. Utilizando la regla de L’Hôpital calcula los siguientes límites:
1) limx→1x-1lnx

Derivamos x-1 y ln x por separado

Quedando lo siguiente:
limx→111x=11=1

2) limx→0sen xtan2xDerivamos sen x y tan 2x por separado

Quedando lo siguiente:
limx→0cosx2 sec2 2x=12

3) limx→∞8x4+6x3+3x2-x+6-2x4+3x3-6x2+7

Derivamos 8x4+6x3+3x2-x+6 y -2x4+3x3-6x2+7 por separadoQuedando lo siguiente:

limx→∞32x3-18x2+6x-1-8x3+9x2-12x

Si sustituimos en esta ecuación aún no podemos obtener un resultado, debido a esto tenemos que volver a derivar ambas partes hasta obtenerun resultado válido:

limx→∞96x2-32x+6-24x2-18x-12

limx→∞192x-32-48x-18

limx→∞192-48= -4
II. Utilizando la derivación parcial, obtén la derivada dydx de las siguientes funciones implícitas:1) x4+3x2y3-x5sen y=3x-2

Derivamos con respecto a x

4x3+6xy3-5x4sen y=3

Derivamos con respecto a y

9x2y2-x5cosy=0

2) 2xy=cos(x2-y)

Derivamos con respecto a x

2y= -2 sen(x2-y)

Derivamos con respecto a y

2x= sen (x2-y)

III. Resuelve los siguientes problemas

1) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función y=xcosx que pasa por el punto conabscisa en x=6.

Utilizaremos la siguiente forma: y-y1=m (x-x1)

Para encontrar las coordenadas del punto sustituimos el vamos de la abscisa en la función:

y=(6)cos(6)

y=5.76

Ahora tenemosx1=6 y y1=5.76

Ahora calcularemos la pendiente, para esto necesitamos la derivada de nuestra función y sustituimos el valor de x1 en esta ùltima:

y´=x sen x+cosx

m=y´

m=6 sen6+cos6=2.64

Ahora sustituimos en nuestra ecuación de la recta punto – pendiente:
y-y1=m (x-x1)
y-5.76=2.64 (x-6)
y=2.64 x-15.84+5.7

y=2.64x- 10.07
2) Se desea construir una ventana a partir dedos figuras geométricas (un rectángulo y un medio círculo) como se muestra en la figura. Encuentra las dimensiones de la ventana con área máxima si su perímetro (el borde exterior de toda la...