Aplicaciones Cuantitativas

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS FMM 070: TÓPICOS DE MATEMÁTICAS PARA NEGOCIOS GUÍA DE EJERCICIOS : INTEGRACIÓN 1.Calcular las siguientes primitivas, utilizando algún método adecuado: a)

∫ (4 x

3

+ 8 x − 3)dx .

Sol.:

x4 + 4 x 2 − 3 x + c

b)

∫ x⋅e

− x2 + 2

dx

c)

ln( x + 1) ∫ x + 1 dx

Sol:

(ln( x + 1))2
2

+c

d)

∫ ln xdx

e)

∫( x + x − x )dx
u 3 + 2u 2 − u du ∫ 3u

1 2

−1 2

Sol:

x2 2

+

3

2x2 3

− 2x 2

1

f)

3

g)

∫x
∫  ∫


2 x + 3 dx
x+ 3  − 2e x dx x 

( x − 1 )( 2 x + 3 ) 2 Sol: 5

+c

h)

i)

(

x −1 dx x2

)

2

Sol:

4 x

− 1 + ln x + c x
t e +1 e +1

l)

t e ∫ (e + t )dt

Sol:

et +

+c

k)

ex ∫ 4 + 9e x dx

l)

∫e

−x(1 + e − x )dx

Sol.:

− e−x −

e −2 x 2

+c

m)

∫ t + 1 dt
ln x 3 − 3 x + 1

t

x2 − 1 n) ∫ 3 dx x − 3x + 1

Sol.:

3

+c

o)

∫

1  x  x − dx x 
−1

e x p) ∫ 2 dx x
q)

Sol.:

e

−1 x

+c

x4 ∫ 1 − x5 dx

r)

∫ 3x ∫

x
2

ln 3 x 2 −1

−1

dx

Sol.:

6

+c

s)

(ln u )3 du
u

2.a) Si

Resuelva:

f ' ( x) = 9 x 2 + x− 8 ; encuentre f ( x) si f (−1) = 1
f ' ' ( x) = 4 x − 1
1

Sol..:

f ( x) = 3 x 3 +

x2 9 − 8x − 2 2

b) Si

; encuentre

f ( x) si f ' (2) = −2; f (1) = 3

c) Si

f '' ( x ) = x 9 - 5 ; encuentre f ( x) si f ' (1) = 2; f (1) = −8
2 Sol: f ( x ) = 9 x − 5 x + 61x − 1147 19 2 10 95
19 10

3.La gerencia de la compañía Lorimar ha determinado que la función de ingresos marginalesdiarios relacionada con la producción y venta de sus relojes de viaje está dada por:

R ' ( x) = −0.009 x + 12

donde x denota el número de unidades producidas y vendidas y a) Determine la función de ingresos

R ' ( x) se mide en dólares por unidad.

R (x) asociada con la producción y venta de estos relojes. R ( x) = −0.0045 x 2 +12 x

Sol: 4.-

La compañía Carlota estima que el costomarginal por la producción de sus guitarras de la serie profesional es:

C ' ( x) = 0.002 x + 100

dólares por mes cuando el nivel de producción es de x unidades por mes. Los gastos fijos de Carlota son de $ 4000 por mes. ¿Cuáles son los gastos totales mensuales de Carlota relativos a la producción de x guitarras por mes? Sol: 0.001x
2

+ 100 x + 4000

5.-

El encargado deinscripciones en la universidad de Kellogg estima que la inscripción total de estudiantes en la División de Educación Continua aumentará a razón de:

N ' (t ) = 2000(1 + 0.2t )

−3 2

alumnos por año, dentro de t años. Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes, encuentre una expresión para el total de alumnos inscritos dentro de t años. ¿Cuántos se inscribirán dentro de cinco años?

Sol: . :6.-

N (t ) = 21000 −

20000 ; dentro de 5 años habrán 6858 estudiantes. 1 + 0.2t

Dos mil pares de bocinas del sistema de sonido modelo F de Acrosonic se vendieron durante el primer año de su lanzamiento al mercado. Desde entonces, las ventas de estos sistemas se han incrementado a razón de:

f ' (t ) = 2000(3 − 2e −t )
unidades por año, donde t denota los años que estos sistemas hanestado en el mercado. ¿Cuántos sistemas se vendieron durante los primeros cinco años posteriores a su introducción? Sol .: 24555 pares.

7.-

Calcular las siguientes integrales definidas:

a)

∫ x( x
0 e +3 e

1

2

+ 1)4 dx .

Sol.: 43/10.

b)

∫ ln( x − 2)dx .
2 x ( x + 2 )dx .
x

Sol.:

(e + 1) ln(e + 1) − (e − 2) ln(e − 2) − 3 2 4 + 2 3 3e 4 − e 2
4

c)

∫
0
4 21

Sol.:

d)

∫ xe dx .

Sol.:

8.-

Suponga que:

−1

∫ f ( x)dx = 5
a)

1

;

∫ f ( x)dx = 2 ; ∫ h( x)dx = 7 ; ∫ h( x)dx = 4
1 −1 1

4

1

Calcular:

∫ f ( x)dx
4

1

b)

−1

∫ (3h( x) + 5 f ( x))dx

4

Sol.: a) –2

b) 68

9.a) b) c)

Hallar el área de la región R limitada por las curvas:

y = x2 − 2x

; y = 4 x - x2 .

Sol: 9 u2 Sol:...