aplicaciones de derivadas




































APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

INTRODUCCIÓN: 

Las derivadas parciales tienen múltiples aplicaciones en muchas ramas de la ciencia; dentro de las aplicaciones matemáticas una de las más importantes es a máximos y mínimos.   Como no todas las funciones de varias variables se pueden graficar solo se analizará siuna función presenta extremos y/o puntos de ensilladura.   Al igual que para funciones de una sola variable para determinar la presencia de extremos se deberá hallar primero los puntos críticos de la función (igualando la primera derivada a cero) para luego mediante criterios de derivadas determinar si existe máximo o mínimo (criterio de la Segunda Derivada).
Para analizar funciones de variasvariables se utilizaran los siguientes procesos: 
• Análisis del Hessiano, si la función es de dos variables.
• Autovalores del Hessiano, si la función es de tres o más variables.
Para funciones sujetas a restricciones se analizará de la misma forma pero creando una nueva funciones mediante el uso de los multiplicadores de Lagrange.
Definición 1:
Dada la función   , los puntos   donde todas lasderivadas parciales de primer orden de la función son ceros o no existen se llaman puntos estacionarios o puntos críticos de la función.}
Puntos Críticos: 
Para determinar los puntos críticos que presenta una función de varios variables se debe formar un sistema de ecuaciones igualando todas las primeras derivadas de la función a cero.
DERIVADAS PARCIALES
DEFINICIÓN:
En resumen, las derivadasparciales es derivar respecto a una variable. 
Ejemplo: si existe F(x, y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran más variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.
Si , las primeras derivadas parciales de  respecto de x e y son lasfunciones  definidas como
 



siempre que el límite existe.

DEMOSTRACIÓN:
Recordemos que la derivada de una función de una variable se define como : 


ahora como tenemos la función  lo que hacemos es fijar el valor de una de las variables a una constante, de esta manera analizamos el cambio en la función con respecto solo al cambio de una de sus variables.
Entonces hacemos  aquí lo que hicimosfue fijar el valor de , y al hacer esto tenemos una función  que depende sólo de .
Derivamos la función  



como  entonces  y cambiamos la expresión anterior, 

Entonces tenemos que la derivada de la función  cuando fijamos  y cambiamos  es, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la función con respecto al eje x) 



DERIVADAS PARCIALES

Derivadas parciales de una función dedos variables
En las aplicaciones en que intervienen funciones de varias variables suele presentarse la cuestión de cómo resulta afectada la función por cambio en una de sus variables independientes. Se puede contestar esta pregunta considerando por separado esa variable independiente. por ejemplo para determinar el efecto de un catalizador en una experimento, un químico puede realizar varias vecesel experimento, con distintas cantidades de ese catalizador cada vez, mientras mantiene constantes todas las demás variables, tales como temperatura y presión. un procedimiento análogo sirve para encontrar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus varias variables independientes. Este proceso se llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f respecto deesa variable independiente elegida.


Notación
Dada  sus derivadas parciales  se denotan por 


y


Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto  se denotan por 


y



Interpretación Geométrica
Las derivadas parciales de una función de dos variables  tienen una interesante interpretación geométrica. Si  es la curva intersección de la superficie  con el plano ....