Aplicaciones de Derivadas

Aplicaciones de las derivadas

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Autores: Paco Martínez (jmartinezbos@uoc.edu), Patrici Molinàs (pmolinas@uoc.edu).

ESQUEMA DE CONTENIDOS

________________________

Conceptos

Ejemplos

Aplicaciones
de las
Derivadas

Aritmética
Comparación
de algoritmos

Desarrollo
de Taylor

Resto de
Lagrange

Fórmula

Regla de
l’Hôpital

de TaylorFórmula de

Órdenes de los
algoritmos

Mac-Laurin

Indeterminaciones

Ari
tmética

Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Aplicaciones de las derivadas

INTRODUCCIÓN

___________________

Empezaremos el Math-block hablando de la aproximación polinómica a una función cualquiera
en un punto dado de su dominio. Sepresenta el proceso de construcción del polinomio de Taylor
que aproxima una función cualquiera alrededor de un punto cualquiera del dominio (si el
polinomio se desarrolla para describir el comportamiento de la función alrededor de cero recibe
el nombre de polinomio o serie de Mac-Laurin).
La aproximación de una función hace que se pueda resolver, de forma numérica, muchas
situaciones cuyasfunciones son difíciles de manejar. De hecho, en informática, en los software,
se utiliza mucho las aproximaciones polinómicas.
Después hablaremos de la Regla de l’Hôpital, que nos ayudará a calcular límites derivando
funciones.
Por último determinaremos cuál de dos algoritmos es más eficiente, el mejor, i.e.: cuál de los dos
requiere de un tiempo de computación menor para llegar a la solución. Paradeterminar cuál de
los dos es más eficiente, recurriremos al concepto de límite en el infinito y a la regla de l’Hôpital.

OBJETIVOS

________________________

1.

Calcular el polinomio que mejor aproxima una función alrededor de un punto, y utilizarlo
para evaluar la función de forma aproximada.

2.

Comparar el polinomio de Taylor con la función original, numérica y gráficamente.3.

Calcular límites indeterminados por medio de la regla de l’Hôpital.

4.

Comparar el orden de magnitud de las funciones más usuales en el cálculo de la
complejidad de un algoritmo.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

___________________________________

Para poder seguir con éxito esta unidad es recomendable haberse leído los siguientes Mathblocks: Uso básico del Mathcad, Funciones de unavariable, Límites de funciones y
Derivación.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

______________________________

Fórmula de Taylor
Si f es n veces derivable en x = a, el polinomio siguiente se llama polinomio de Taylor de
grado n en x = a.

Pn ,a ( x) = f (a ) +

f ' (a)
f ' ' (a )
f n ) (a)
( x − a) +
( x − a) 2 + L +
( x − a) n
1!
2!
n!

La diferencia f(x) - Pn,a(x) se llama resto oError, y se designa por Rn,a(x).

Rn ,a ( x) = f ( x) − Pn ,a ( x) ⇒ f ( x) = Pn ,a ( x) + Rn ,a ( x)
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Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Aplicaciones de las derivadas
Teorema de Taylor:
1. Si f es una función con derivada n-ésima en x = a, se cumple

lim
x →a

2. Si en un entorno E(a) existe f
entre a y x, tal que

Rn,a ( x) =

f n +1) (c)
( x − a ) n +1
(n + 1)!

n+1)

Rn , a ( x )
( x − a) n

=0

(x), entonces ∀x∈E(a) existe algún c, comprendido

(Resto de Lagrange).

Con lo que el desarrollo de Taylor con el residuo de Lagrange queda así:

f ( x) = f (a) +

f ' (a)
f ' ' (a)
f n ) (a)
f n +1) (c)
( x − a) n+1
( x − a) n +
( x − a) 2 + L +
( x − a) +
n!
(n + 1)!
2!
1!Cuando a = 0 se llama fórmula de Mac-Laurin.

f ( x) = f (0) +

f ' (0)
f ' ' (0) 2
f n ) (0) n f n +1) (c) n +1
x+
x +L+
x +
x
1!
2!
n!
(n + 1)!

Esta última expresión es el desarrollo de Mac-Laurin con resto de Lagrange.
Ejemplo: Calcular el polinomio de Taylor de grado 2 para la función f ( x ) = xsinx en el
punto x=0
Solución:
La expresión del polinomio de Taylor de grado 2...