Aplicaciones De Derivadas

0.1. Unidad de aprendizaje 5
0.1.1. Aplicaciones de la derivada
0.1.2. Razones de cambio relacionadas
Introducción:
En esta parte del curso se estudiarán problemas en los que se intenta encontrar la razón a la que
está cambiando alguna cantidad relacionándola con otra cantidad cuya razón de cambio se conoce.
Objetivo:
Obtener una ecuación que relacione las dos cantidades y luego aplicar laregla de la cadena para
diferenciar ambos miembros de la ecuación; generalmente con respecto al tiempo.
Una estrategia para resolver estos problemas consiste en
1. Identi…car las cantidades que varían.
2. Encontrar una ecuación que relacione la cantidad que incluye la razón de cambio desconocida
con las cantidades cuyas razones de cambio se conocen.
3. Derivar ambos miembros de la ecuación(lo cual implica el uso de la regla de la cadena) y
resolver para la derivada que dará la razón de cambio que se desea conocer.
4. Evaluar la derivada en el punto apropiado sustituyendo la información dada.
Ejemplo 1 Un automóvil denotado por A viaja hacia el oeste a una velocidad de 80 Km/hr, mien-
tras que otro automóvil denotado por B, viaja hacia el norte a una velocidad de 60 Km/hr. Ambosautomóviles se dirigen hacia la intersección de las dos carreteras. ¿A que velocidad se aproximan
los automóviles entre sí cuando A se encuentra a 600 m y B a 400 m de la intersección de las dos
carreteras?
Solución 2 La …gura 1 ilustra el problema, en donde C es la intersección de las dos carreteras. En
un instante dado de tiempo t, sean x la distancia del automovil A a C, y la distancia deB a C y
z la distancia entre los automóviles; x; y y z se miden en metros.
C A
B
x
y z
Figura 1.
1
0.1. UNIDAD DE APRENDIZAJE 5
Se tiene por hipótesis, que dx=dt = 80 km/hr y dy=dt = 60 km/hr (las derivadas se han con-
siderado negativas porque x y y están disminuyendo). En el problema se pide encontrar dz=dt. La
ecuación que relaciona a x; y y z está dada por el Teorema de Pitágoras:z2 = x2 + y2.
Diferenciando ambos miembros de la ecuación con respecto a t, obtenemos:
2z
dz
dt
= 2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
;
resolviendo la ecuación para dz=dt se tiene:
dz
dt
=
1
z

x
dx
dt
+ y
dy
dt

;
luego, cuando x = 600 m y y = 400 m, del Teorema de Pitágoras se obtiene:
z =
p
x2 + y2 =
q
(600)2 + (400)2  721;11 m,
de modo que
dz
dt
=
1
721;11
[600 (80)+ 400 (60)]
= 99;85 km/hr.
Los automóviles se acercan entre sí a razón de 99;85 km/hr.
Ejemplo 3 Los depósitos grasos se acumulan de una manera uniforme en la pared de una arteria
cuya sección transversal es un círculo de 2 mm de radio. ¿A qué razón está cambiando el área de
la sección transversal de la arteria en relación con el espesor del depósito graso cuando este tiene
0.5 mm deespesor?
Solución 4 Sean
A el área de la sección transversal de la abertura arterial en mm2 y
h el espesor del depósito graso en mm.
La …gura 2 muestra una arteria circular imaginaria con un depósito de grasa uniforme en la pared
de esta.
2 mm
A
depósito
graso
pared
arterial
h
Figura 2
2
0.1. UNIDAD DE APRENDIZAJE 5
La razón a la que el área A de la abertura arterial varía en relación conel espesor h del depósito
graso es dA=dh. Debido a que se desea determinar la razón de cambio cuando h = 0;5 mm, se debe
encontrar 
dA
dh

h=0;5
:
En la …gura 2 se observa que el radio de la abertura arterial (2 h), de modo que el área de la
abertura arterial es
A =  (2 h)2 .
Derivando ambos miembros de la ecuación con respecto a h; obtenemos
dA
dh
= 2 (2 h) .
De estamanera, 
dA
dh

h=0;5
= 2 (2 0;5)  9;42 mm2/mm.
Por lo tanto, cuando h = 0;5 mm, el área A de la abertura arterial está disminuyendo (observa el
signo negativo) a una razón que es aproximadamente 9.42 veces la razón a la que el depósito graso
aumenta su espesor.
Ejemplo 5 Una mancha de petróleo de forma circular, de 700 m de diámetro, producto de una fuga
en una plataforma marina, es...