Aplicaciones De Ecuaciones Diferenciales En La Ing. Industrial

 
PROBLEMA

Un producto nuevo de cereal se introduce a través de unas campañas de publicidad a una población de 1 millón de clientes potenciales. La velocidad a la que la población se entera delproducto se supone que es proporcional al número de personas que todavía no son conscientes del producto. Al final de un año, la mitad de la población ha oído hablar del producto. ¿Cuántos han oídohablar de él por el final de 2 años?

SOLUCIÓN

En primer lugar definimos las variables que forman parte del problema:
y : es el número en millones de personas (clientes potenciales).
t : tiempoque han oído hablar del producto.
(1-Y): es el número de personas que no han oído de este.
dy : la velocidad a la que la población conoce sobre el producto.
dt

En segundo lugar especificamosla expresión diferencial que describe el problema.



dy = k (1- y) Ecuación Diferencial
dt






Para resolver la ecuación diferencial:1. Separamos las variables:

dy = k (1 - y) dt Forma Diferencial

dy = k dt
(1 - y)

2. Integramos a ambos lados de la igualdad.

ʃdy = ʃ k dt
(1 - y)

- ln ǀ1 - yǀ = kt + C1

Ln |1 - y | = - kt + C1 Multiplicamos por -1

1 – y = ℮^- kt + C1Aplicamos propiedad de los logaritmos y asumimos que y < 1


Y = 1 - C℮^(- kt)







Para el cálculo de la solución particular se debeaplicar las condiciones iniciales del problema a la solución general, es decir:

y = 0 cuando t = 0, por tanto C = 0

y = 0.5 cuando t = 1, por tanto k = ln 2 = 0.693 0.5 = 1 - ℮^(- k)En la solución particular reemplazamos t por 2, esto es el número de años que ha transcurrido desde la publicación del producto y sobre el cual se va a evaluar el total de...