Aplicaciones de ecuaciones diferenciales

APLICACIONES / VARIABLES SEPARABLES

PROBLEMA 1.- El crecimiento de una ciudad, es proporcional al número de habitantes que hay en un instante cualquiera. Si la población inicial es de 400,000 y al cabo de 3 años es de 450,000.
a) ¿Cuánto tardará en duplicarse?
b) ¿Qué población habrá en 10 años?

DATOS
t0 = 0 P0 = 400,000
t1 = 3 P1 = 450,000
t2 = ¿ P2 = 800,000t3 = 10 P3 = ¿
* Planteamiento de la razón de cambio:
* Modelo matemático dPdt=kP. => dPP=kdt
* Solución general del modelo matemático: sustituyendo los límites y las condiciones iniciales  P0P1dPP=t0t1kdt => ln|P1|-ln⁡|P0|=k[t1-t0]
* Solución general del Modelo matemático. Para obtener el valor de la constante  de proporcionalidad, k sustituimos las condicionesP0 = 400000; P1 = 450000; t1 = 3; t0 = 0: ⇒ k=13ln4540=0.03926 Con lo cual se obtiene la solución particular del modelo matemático: lnP400,000=0.03926t

* Para obtener el tiempo en el cual la población se duplica, sustituimos en la solución particular la condiciónt = ? P = 800,000, t=10.03926ln84, t=17.65 Años

* Para obtener la población que habrá al cabo de 10 años, sustituimos en la solución particular la condición t =10, P = ?. Despejamos a P de la solución particular: P=400,000e0.03926(10) ⇒ P=592,330 habitantes

Gráfica que nos indica el comportamiento de la población y el tiempo en el cual se duplica.
Plot [25.4712Log[P/400000], {P,400000,800000}].

Gráfica que nos dice el comportamiento de la población y el número de habitantes que habrá al cabo de los 10 años.
Plot[400000 E^(0.03926 t),{t,0,10},{Frame->True,GridLines->Automatic}]

PROBLEMA 2:
La cantidad de bacterias de un cultivo crece proporcionalmente al número de bacterias que haya en un instante dado. Se observa que al cabo de 2 horas elnúmero de bacterias es de 100 y al cabo de 5 horas es de 300.
a) ¿Cuántas bacterias había inicialmente?
b) ¿Cuántas bacterias había al cabo de diez años?
Datos
En t0 = 0 P0 = ?
En t1 = 2hrs P1 = 100 bacterias
En t2 = 5 hrs P2 = 300 bacterias
En t3 = 7 hrs P3 = ¿
Planteamiento de la razón de cambio: dPdt=kP => dPP=kdt ; modelo matemático.
Con el propósito de resolverlo,sustituímos límites e integramos, agrupando las variables: ; resolviendo: lnP2P1=k t2-t1> ln300100=k 5-2: => : ln33 = k
k = 0.366204 ln300P0=0.366204 5-0, ln3001P000=0.366204 (5)
Finalmente : Resultado   Bacterias.
Utilizando otra estrategia de solución teniendo los mismos datos resulta:
;  | ;  | ;  ; ;
Constante de proporcionalidad .
Sustituyendo los valores en la fórmulageneral tenemos: .
Utilizando t = 0 ; = ? ; Sacamos antilogaritmos
  ;    
Sustituyendo los valores P = 100 ; t = 2 :  Resultado
Sustituyendo los valores P = 300 ; t = 5; Resultado  
La gráfica de resultado la obtenemos en MATHEMATICA con la instruccion :
Plot[48 E^(0.367 t),{t,0,5 },{Frame->True,GridLines->Automatic}] INSERT y la Gráfica obtenida debe ser estudiada e interpretada en sucontexto ya que fué obtenida siguiendo el procedimiento:
1.- Presentación del problema
2.- Recolección de datos
3.- Planteamiento de la razón de cambio
4.- Transposición de la razón de cambio en términos algebraicos; que se considera el Modelo matemático
5.- Solución del modelo matemático; que se considera como la solución general.
6.- Sustituir los datos en la solución general, para obtenerla solución particular.
7.- Graficar la solución particular e interpretarla.

PROBLEMA 3.- Una sustancia radiactiva en un instante cualquiera se desintegra de manera proporcional a la cantidad presente en ése instante. Si la semivida de isótopo radiactivo Pb - 206 es de 3.3 horas, si se tiene un gramo de isótopo y se desea saber en cuánto tiempo se habrá desintegrado el 90% del total. Sea M...