Aplicaciones de ecuaciones diferenciales

CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD 5. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. CONTENIDO

5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3

INTRODUCCIÓN APLICACIÓN EN VIBRACIONES MECÁNICAS –OSCILACIONES OSCILACIONES LIBRES OSCILACIONES LIBRES AMORTIGUADAS OSCILACIONES FORZADAS RESONANCIA APLICACIÓN EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LOSCIRCUITOS ELÉCTRICOS CIRCUITO RLC EN SERIE CIRCUITO RLC EN PARALELO

5.4 OTRAS APLICACIONES

20/12/2008 Página 1 de 17 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez

CÓDIGO 00076 UFPS

UNIDAD 5
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. 5.1 INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de orden superior con frecuencia aparecen como modelosmatemáticos principalmente en las aplicaciones de sistemas mecánicos y circuitos eléctricos. Por lo anterior en esta unidad trataremos algunas de las aplicaciones cuyo análisis arrojan ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de segundo orden. Primero, las aplicaciones de las homogéneas o sea el estudio de los sistemas mecánicos o eléctricos no excitados y posteriormente las aplicacionesde las no homogéneas o sea el estudio de los sistemas mecánicos o eléctricos excitados 5.2 APLICACIÓN EN VIBRACIONES MECÁNICAS –OSCILACIONES El movimiento de una masa sujeta a un resorte sirve de ejemplo muy simple de las vibraciones que ocurren en los sistemas mecánicos más complejos. Para algunos de tales sistemas el análisis de esas vibraciones es un problema de resolución de ecuacionesdiferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Ley de Hooke Imaginemos un resorte ordinario en posición horizontal que resiste tanto a la compresión como al estiramiento, un extremo del resorte está sujeto a un muro fijo y al otro extremo se le aplica una fuerza F. Supongamos que el resorte descansa sobre un plano horizontal y no se presenta una fuerza de fricción o rozamiento alser estirado o comprimido. Por la Ley de Hooke se establece que al aplicarle una fuerza a un resorte le produce un alargamiento que depende de la tesura del resorte. Resorte original sin fuerza aplicada Resorte estirado por la fuerza aplicada L L es la longitud original del resorte. F es la fuerza aplicada. S es la longitud de alargamiento producido. K es la constante del resorte y depende de latesura del mismo. Sus unidades son unidades de fuerza sobre unidades de distancia. Luego por Ley de Hooke: F = K. S

S

F

Ley de acción y reacción. Ahora imaginemos un cuerpo de masa m sujeto al extremo del resorte; el otro extremo del resorte está sujeto a un muro fijo, como se muestra en las figuras. Supongamos que el cuerpo descansa sin fricción sobre un plano horizontal, de modo que elcuerpo sólo puede moverse hacia atrás o hacia delante cuando el resorte se comprime o se estira. Cuando una masa ejerce una fuerza sobre un resorte, el resorte ejerce una fuerza sobre la masa de igual magnitud y de sentido contrario a la aplicada, debida a la ley de acción y reacción y a la que se le denomina Fuerza de Restitución.

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ALARGAMIENTO Resorte en su posición original. L

COMPRESIÓN L

Resorte en su posición original. S

S

Resorte estirado Fuerzas sobre la masa FR

m

Fap

Resorte comprimido

m

Fap

m

Fap

FR = - K S

FR

m

Fap

NOTA; En cualquiera de los casos considerados la fuerza de restitución es proporcional y de sentido contrario a la distanciaalargada o comprimida 5.2.1 OSCILACIONES LIBRES Ahora imaginemos el mismo sistema masa resorte pero en posición vertical.

t <
t > t( 0
+ )

MASA EN MOVIMIENTO

Movimiento ascendente de la masa

Movimiento descendente de la masa

L
Kl

y=-d
y=0

wR = 0

l

m
mg= Kl mg-Kl=0

mg

yo

y v(-)

l

m

v(+)

m
mg = K(y + l )

m y
C D E F

A

B

Cada una de las...