Aplicaciones de edo

ECUACIONES DIFERENCIALES APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN E0200 (1) Se ha encontrado que el 0.5% de radio desaparece en 12 a˜os. n (a) ¿ Qu´ porcentaje desaparecer´en 1000 a˜os? e a n (b) ¿ Cu´l es la vida media del radio? a (2) Un reactor transforma el Uranio 238, que es relativamente estable, en el is´topo plutonio o 239. Despu´s de 15 a˜os se determina queel 0.043% de la cantidad inicial Q0 de plutonio e n se ha desintegrado. Calcular la vida media de este is´topo. o

canek.uam.mx: 22/ 4/ 2003.
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APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS DE PRIMER ORDEN E0200

Respuestas
(1) Se ha encontrado que el 0.5% de radio desaparece en 12 a˜os. n (a) ¿ Qu´ porcentaje desaparecer´ en 1000 a˜os? e a n (b) ¿ Cu´l es la vida media delradio? a Sea Q(t) la cantidad de radio (en gramos) presente en el instante t ≥ 0 (despu´s de t a˜os). e n Aqu´ se tiene que: ı Q(t = 0) = Q0 y Q(t = 12) = 0.995Q0 dQ dQ = kQ ⇒ = k dt ⇒ ln Q = kt + C1 ⇒dt Q Q = ekt+C1 = Cekt ⇒ Q(t) = Cekt Q(t = 0) = Q0 ⇒ Q(0) = Cek(0) = Q0 ⇒ C = Q0 Entonces: Q(t) = Q0 ekt Q(t = 12) = 0.995Q0 ⇒ Q(12) = Q0 e12k = 0.995Q0 ⇒ ln 0.0995 ⇒ e12k = 0.995 ⇒ 12k = ln 0.0995 ⇒ k= 12 k = −0.000418 De modo que Q(t) = Q0 e−0.000418t Es la cantidad de radio en el a˜o t ≥ 0. n (a) ¿Qu´ porcentaje desaparecer´ en 1000 a˜os? e a n Con t = 1000 se tiene que: Q(1000) = Q0 e0.418 =0.658Q0 Por lo tanto, ha desaparecido 0.342Q0 ; es decir el 34.2% de radio ha desaparecido en 1000 a˜os. n (b) ¿Cu´l es la vida media del radio? a Si tm es la vida media del radio, entonces 1 Q(tm ) =Q0 e−0.000418tm = Q0 ⇒ 2 −0.000418tm e = 0.5 ⇒ tm = 1660 a˜os. n (2) Un reactor transforma el Uranio 238, que es relativamente estable, en el is´topo plutonio o 239. Despu´s de 15 a˜os se determinaque el 0.043% de la cantidad inicial Q0 de plutonio e n se ha desintegrado. Calcular la vida media de este is´topo. o Sea Q(t) la cantidad (en gramos) de plutonio presente en el instante t ≥ 0...