Aplicaciones de extremos absolutos

1. Una compañía averiguó que la utilidad anual u, expresada en cientos de dólares, es función del número de representantes asignados a un distrito determinado. Se sabe que , donde . ¿Qué número derepresentantes producirá la utilidad máxima en el distrito, y cuál es esa utilidad?
Solución: Tenemos la función:

cuya derivada es:

Igualándola a 0 para obtener su máximo igualamos a 0:Despejando x en esa ecuación, obtenemos y , el valor negativo no se toma en cuenta, ya que no pertenece al intervalo.
Hallamos las utilidades, evaluando la función en los extremos del intervalo y en elpunto crítico:





Luego, se puede ver que 45 representantes darán la utilidad máxima de 317900 (cientos de dólares), es decir, 31790000 dólares.
2. En condiciones de competencia perfecta, unacompañía puede vender los artículos que produce a $200 por unidad. Si dólares es el costo total de la producción diaria cuando se producen artículos y , determine el número de unidades que debenproducirse diariamente a fin de que la compañía obtenga la máxima ganancia total diaria.
Solución: Podemos plantear que:
dólares es el ingreso total cuando x unidades son vendidas:
dólares es elcosto total de producir x unidades por día:
dólares es la ganancia por x unidades vendidas:

. El punto crítico es . Ahora, si , y si . Por lo tanto, alcanza su valor máximo si . La compañía debeproducir 40 unidades diariamente.
3. El telescopio espacial Hubble fue puesto en operación el 24 de abril de 1990 por el transportador espacial Discovery. Un modelo para la velocidad del transbordadordurante su misión desde el lanzamiento en hasta que los cohetes auxiliares de combustible sólido se desprenden en el instante , está dado por:

(en pies por segundo). Usando este modelo, estimelos valores máximo y mínimo absolutos de la aceleración del transbordador entre el lanzamiento y el desprendimiento de los cohetes auxiliares de combustible sólido.
Solución: Se pide hallar los...