Aplicaciones de integrales indefinidas

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

CAPITULO 4: CÁLCULO INTEGRAL
4.1. Primitivas e integración indefinida
Hasta este instante hemos resuelto el problema: dada una función, hallar sui derivada. En muchas
aplicaciones importantes aparece el problema inverso: dada la derivada de una función, hallar la
función original.
Por ejemplo: Hallar una función F cuya derivada es F’(x)=3x2.
Como

d 3
⎡ x ⎤ =3x 2 , entonces la respuesta es F(x) = x3
dx ⎣ ⎦

La función F se llama antiderivada de F’. Conviene usar la frase: F(x) es una antiderivada de f(x). En
d 3
⎡ x + 4 ⎤ = 3x 2 , entonces también es respuesta F(x) = x3 + 4. Más aun, la
efecto, como también
⎦
dx ⎣
3
derivada de x + C, siendo C una constante cualquiera, implica que la respuesta será: F(x) = x3 + C.
Definición: Una función Fse llama antiderivada (o primitiva) de una función f, si F ‘(x) = f(x).
Luego, un primer resultado sería: Si F es una antiderivada de f, entonces G es una antiderivada de f
si y sólo si G es de la forma
G(x) = F(x) + C
donde C es una constante arbitraria.
Notación: Si y = F(x) es una antiderivada de f, entonces se dice que F(x) es una solución de la
ecuación
dy
= f(x)
dx
Note queefectivamente se trata de una ecuación pues hay una igualdad y una incógnita, la función y.
Dado que la incógnita está sufriendo la acción de la derivada, esta ecuación se llama ecuación
diferencial.
Cuando se resuelve una ecuación de este tipo, es conveniente escribirla en su forma diferencial
equivalente
dy =f(x)dx
La operación que permite hallar todas las soluciones (o solución general) de estaecuación se llama
integración y se denota por el símbolo
.

∫

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donde f(x) se llama integrando, la diferencial que acompaña a f(x) nos indica la variable de
integración y C se llama constante de integración.
La expresión

∫ f(x)dx

se llama integral indefinida de f respecto de x. Los términos integral

indefinida yprimitiva general son sinónimos.
El hecho que una operación sea la inversa de la otra, se refleja de la siguiente manera:
•

La integración es la inversa de la derivación: basta sustituir F’(x) por f(x) en la definición
anterior:

∫ F '(x)dx = F(x) + C
•

La derivación es la inversa de la integración:

d ⎡
f(x)dx ⎤ = f(x)
⎦
dx ⎣ ∫
pues

∫ f(x)dx = F(x) + C .

Esta relación entrederivación e integración, nos permite obtener algunas fórmulas de integración
directamente de las fórmulas de derivación. En efecto
REGLAS BASICAS DE INTEGRACIÓN
Fórmulas de derivación

Fórmulas de integración

d
[c ] = 0
dx

∫ 0dx = C

d
[kx ] = k, k ≠ 0
dx

∫ kdx = kx + C,

d
[kf(x)] = kf '(x)
dx

∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx

k≠0

d
[ f(x) ± g(x)] = f '(x) ± g'(x)
dx

∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx

d n
⎡ x ⎤ = nx n−1
dx ⎣ ⎦

n
∫ x dx =

xn+1
+ C, n ≠ −1
n +1

Ejemplos:

1.

⎛ x2 ⎞
3
3xdx = 3∫ xdx = 3 ⎜ ⎟ + C = x 2 + C
∫
2
⎝ 2⎠
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2.

∫ ( 3x

2

3
2
+ 2x dx = ∫ 3x 2 dx + ∫ 2xdx = x 3 + x 2 + C = x 3 + x 2 + C
3
2

)

1
x −2
1
dx = ∫ x −3 dx =
+ C =− 2 + C
3.∫ x 3
−2
2x

4.

∫

3

x
xdx = ∫ x dx =
3
1
2

2

+C=

2

2 32
x +C
3

3x 2 − 4
4
−2
5. ∫ x 2 dx = ∫ 3 − 4x dx = 3x + x + C

(

)

4.2 Condiciones iniciales y soluciones particulares

Hemos dicho que la ecuación y =∫f(x)dx admite infinitas soluciones que difieren en una constante.
Esto significa que las gráficas de dos primitivas cualesquiera de f sontraslaciones verticales una de la
otra.
Por ejemplo, en la figura de la izquierda mostramos varias
gráficas de primitivas de la forma:

∫

y = (3x 2 − 1)dx = x 3 − x + C (solución general)
para diversos valores enteros de C. Cada una de esas
primitivas es una solución de la ecuación
dy
dx

= 3x 2 − 1

Una solución particular de esta ecuación será una única
primitiva, es decir, conocemos...