Aplicaciones De Integrales

Introducción

El campo eléctrico asociado a una carga aislada o a un conjunto de cargas es aquella región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos. Así, si en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico se coloca una carga de prueba o carga testigo, se observará la aparición de FUERZAS ELÉCTRICAS, es decir de atracciones o repulsiones sobre dicha carga deprueba.

El campo eléctrico es la fuerza por unidad de carga que experimentará una carga en cierta posición del espacio
El campo eléctrico es la fuerza por unidad de carga que experimentará una carga en cierta posición del espacio

El campo eléctrico se define: E=Fq
E=campo eléctrico, expresada en (N/C) N=Newton, C=coulomb
F=fuerza eléctrica, expresada en Newton
q=carga de prueba,expresada en coulomb

Donde la fuerza eléctrica está definida como
K=constante de Coulomb, r=distancia entre la carga generadora de campo y la carga de prueba, q1=carga generadora de campo, q2= carga de prueba, ε0=permitividad del vacío.
Esto quiere decir que sustituyendo la expresión de fuerza eléctrica en la de campo eléctrico obtenemos que: y como K=1/4πε0 E=Kqr2 dondeq=carga generadora de campo.

Para determinar el campo eléctrico resultante generado por un conjunto de cargas puntuales, se aplica el principio de superposición.
ER=E1+E2+E3….+EnER=campo resultante.

Contenido
En caso de tener una distribución de cargas continuas, el campo resultante será:
E=K|dq|r2
Donde la integral abarca toda la distribución de carga y es una operación vectorial.
Dependiendo de cómo estédistribuida la carga, se tendrá la densidad de carga:
* Densidad Lineal de carga λ: cuando la carga Q está distribuida uniformemente a lo largo del una línea de longitud l. λ=Ql
* Densidad de carga superficial σ: cuando la carga Q está distribuida uniformemente sobre una superficie de área A. σ=QA

Aplicación: Determinación del campo eléctrico en una distribución de carga continúas.Caso 1. –Distribución de carga lineal.
* Una carga –Q está distribuida en un hilo conductor en forma de semicírculo de perímetro L y radio a, como se indica en la figura, con una densidad uniforme λ.
Exprese el campo eléctrico en el centro del semicírculo:

-Q=carga distribuida
dl=elemento de longitud del hilo conductor ó diferencial de longitud del hilo conductor
dq=diferencial decarga
dθ=diferencia angular. Como λ=-Ql también se puede expresar λ=dqdl, ya que la carga está distribuida uniformemente en el hilo conductor. Como el semicírculo tiene radio a por definición de radianes tenemos que dθ=dla .
-Recordemos que se determina el campo a través de una suma vectorial. Entonces si definimos estos vectores en un sistema de coordenadas (x,y) tenemos que: ER=Ex+Ey; como secancelan las componentes en x, solo se suman las componentes en y.
y

ER
E2 E1
E2yE2x E1x x
* Esto nos dice que ER=Ey; ER=E senθ ŷ
Si el campo está definido E=K|dq|r2 entonces E=K|dq|r2sinθŷ
Donde r2=a, y dq=λ dl obtenemos que:
E=Kλdla2sinθŷ

Donde λ=-Ql y dl=a dθ, y como los vectores de campo eléctrico producido por la distribución de carga...