Aplicaciones de integrales

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CAPITULO 7

Aplicaciones de la Integral Definida
Licda. Elsie Hern´ndez Sabor´ a ıo

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a

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Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o

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Cr´ditos e ´ Rosario Alvarez, 1988. Luis Ernesto Carrera Walter Mora. Luis Ernesto Carrera, Walter Mora, Marieth Villalobos. escribir awmora2@yahoo.com.mx

Primera edici´n impresa: o Edici´n LaTeX: o Edici´n y composici´n final: o o Gr´ficos: a Comentarios y correcciones:

Contenido
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 C´lculo de ´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a ´ Area de una regi´n comprendida entre dos curvas . . o Vol´menes de s´lidos de revoluci´n . . . . . . . . . . u o o Longitud de una curva plana . . . . . . . . . . . . . C´lculo detrabajo con ayuda de la integral definida a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 8 . 15 . 30 . 34

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4 La integral definida es una herramienta util en las ciencias f´ ´ ısicas y sociales,ya que muchas cantidades de inter´s e en dichas ciencias pueden definirse mediante el tipo de suma que se presenta en la integral definida. Antes de estudiar casos espec´ ıficos en que se utiliza la integral definida, daremos las siguientes definiciones: Definici´n 1 o Recibe el nombre de partici´n de un intervalo cerrado [a, b] un conjunto de intervalos cerrados: o {[x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ],. . . , [xn−2 , xn−1 ], [xn−1 , xn ]} que posee las propiedades: 1. [x0 , x1 ] ∪ [x1 , x2 ] ∪ . . . ∪ [xn−2 , xn−1 ], [xn−1 , xn ]} = [a, b] 2. [xi−1 , xi ] ∩ [xi , xi+1 ] = xi con i ∈ {1, 2, . . . , n} 3. [xj−1 , xj ] ∩ [xk , xk+1 ] = ∅ a menos que k = j o j − 1 = k + 1. Definici´n 2 o Cada intervalo en una partici´n de [a, b] se llama subintervalo [a, b]. Una partici´n est´ determinada por los oo a n´meros que son puntos externos de los subintervalos de la partici´n. As´ una partici´n que contenga n u o ı, o subintervalos queda determinada por un conjunto de n + 1 n´meros. u {x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn }, donde x0 = a, xn = b, xi−1 < xi para i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}. Denotaremos con Pn la partici´n determinada por este conjunto de n + 1 n´meros, as´ o u ı:

Pn = {[x0 , x1 ], [x1, x2 ], . . . , [xn−2 , xn−1 ], [xn−1 , xn ]} Definici´n 3 o Si Pn es una partici´n de un intervalo [a, b], la norma Np de Pn es el mayor de los n n´meros o u

(x1 − x0 ), (x2 − x1 ), (x3 − x2 ), . . . , (xn − xn−1 ), donde

∆x1 = x1 − x0 , ∆x2 = x2 − x1 , . . . , ∆xn = xn − xn−1 , o sea ∆xi = xi − xi−1 para i ∈ {1, 2, . . . , n}. La norma Np de una partici´n Pn es la longitud del m´s grandede los subintervalos en la gr´fica de Pn que se o a a muestra a continuaci´n: o

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Figura 7.1:

Definici´n 4 o Si Pn es una partici´n en un intervalo [a, b], un aumento Tn de la partici´n es un conjunto de n´meros o o u {t1 , t2 , . . . , tn } tales que x0 ≤ t1 ≤ x1 , x1 ≤ t2 ≤ x2 , x2 ≤ t3 ≤ x3 , . . . , xn−1 ≤ tn ≤ xn , o sea, xi−1 ≤ ti ≤ xi con i ∈ {1, 2, . . . , n}. Gr´ficamente: aFigura 7.2:

7.1

C´lculo de ´reas a a

Sea f una funci´n cuyo dominio est´ en el intervalo cerrado [a, b], tal que f (x) ≥ 0 para x ∈ [a, b]. o a Sea R la regi´n plana limitada por las gr´ficas de las ecuaciones: y = f (x), y = 0 (eje x), x = a, x = b. o a

Figura 7.3: Sea Pn una partici´n de [a, b] en n subintervalos determinados por el conjunto {x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn }, con o ∆xi= xi − xi−1 , i ∈ {1, 2, . . . , n}. Sea Tn = {t1 , t2 , . . . , tn } un aumento de Pn .

6 Construimos n rect´ngulos cuyas bases sean los n intervalos de la partici´n Pn cuyas alturas sean a o f (t1 ), f (t2 ), . . . , f (ti ), . . . , f (tn−1 ), f (tn ).

Figura 7.4: El ´rea del i–´simo rect´ngulo est´ dada por f (ti ) · ∆xi ; y la suma a e a a
n

f (ti )∆xi
i=n

de las ´reas de los...