Aplicaciones de integrales

Universidad Latina de Costa Rica
Escuela de Matemática

Proyecto Final
Tema: Integrales

Asignación:
Calculo II

Profesor:
José Antonio Otarola.

Alumnos:
Priscilla Meono Quirós
Danny Zelaya Soza
Carlos Montero Bolaños

Fecha:
Martes 4 de diciembre 2012

Introducción:
Con este trabajo se pretende consolidar los conocimientos adquiridos durante el
estudio del Cálculo.Enfocados en el tema de integrales, basamos este trabajo en las diferentes
aplicaciones. Siendo estos problemas, situaciones que encontramos diariamente;
utilizamos los conocimientos alcanzados para resolver los mismos.
Se pretende desarrollar y calcular dos problemas, uno de ellos el cálculo de calor
generado por una turbina de vapor y el otro, el cálculo de cantidad de ruido
producido por unamplificador.

Justificación:
Debido al fin de situaciones y problemas que se presentan en la vida cotidiana en
general, se tiene la necesidad de utilizar los conocimientos de las integrales para
solventarlos.
o Objetivo General ¿Por qué se hace?
Para ofrecer datos certeros a la realidad se piensa implementar un métodos de
integración que permita resolver sin fin de situaciones.
oObjetivo Específico ¿Para qué se hace?

El objetivo de este trabajo será investigar al mismo tiempo que aplicar y reforzar
los conocimientos de los diferentes métodos de integración a la vida cotidiana.
o

Metas cuantitativas:

Calcular el calor generado por una turbina de vapor
Calcular la cantidad de ruido generado por un amplificador.

Marco teórico
La integración es un conceptofundamental del cálculo y del análisis matemático.
Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos
e infinitamente pequeños.
Se menciona que la integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo
Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se
conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal.
Sin embargo,losprincipales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con
el descubrimiento del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera
independiente por Isaac Newton (Científico Ingles) y Gottfried Wilhelm von
Leibniz (Científico alemán). El teorema demuestra una conexión entre la
integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad,
comparativamente hablando, delcálculo de derivadas, se puede usar para calcular
integrales.

Formalización de las integrales
Aunque Newton y Leibniz suministraron un enfoque sistemático a la integración,
su trabajo carecía de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque del George
Berkeley (Filosofo Irlandés) calificando los infinitesimales como los "fantasmas de
las cantidades que se desvanecen".
La integración fuerigurosamente formalizada por primera vez por Georg Friedrich
Bernhard Riemann (Matematico alemán) empleando límites. A pesar de que todas
las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo
acotado, más tarde se consideraron funciones más generales para las cuales no
se aplica la definición de Riemann, y Henri Léon Lebesgue (Matemático francés)
formuló una definicióndiferente de la integral basada en la teoría de la medida.
También se propusieron otras definiciones de integral, que amplían las
definiciones de Riemann y Lebesgue.
El proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la
matemática en general. Se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y
volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Ejercicios ResueltosEjercicio#1
Turbinas de Vapor.

En las turbinas de vapor se genera calor interno por fricción entonces calcular:
La variación de la entropía S12 y encontrar el calor Q’.
Si

S1= 30,5 K/kJ

T1= 480 K

y

y

S2 = 40,4K/kJ

T2= 591 K

Para encontrar lo que se pide primero debemos encontrar Q’ entones aplicamos la
siguiente fórmula:
Solución:

∫

∫

∫

Ejercicio#2...