Aplicaciones de integrales

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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES
En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como
geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y
para las integrales triples.

3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES
Entre las aplicaciones de las integrales dobles, setienen las
aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se
encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de
volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas
están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas,
centros de masa y momentos de inercia para una región
bidimensional.
3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
En el capítulo 1 de estetrabajo, se explicó el significado intrínseco
de la integral doble de una función f positiva en una región
bidimensional D,

∫∫ f ( x, y ) dA ,
D

como el volumen del sólido S

definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora,
si se considera que f ( x, y ) = 1 , entonces la integral anterior queda
como:

∫∫ f ( x, y ) dA = ∫∫
D

D

dA

(III.1)

Recuerde que la integral
doble
f (x, y ) dA ,

Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene

también puede escribirse
como

que:

∫∫

D

n

m

Lim ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij
P →0

i =1 j =1

∫∫

D

n

m

dA = Lim ∑∑ ∆Aij

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

P →0

i =1 j =1

(III.2)

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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
donde ∆Aij es el área del rectángulogenérico denotado Dij , el
cual puede observarse en la figura 3.1

y

xi

(xi*,yj*)

d = ym

yj
yj-1

Dij

D

yj

c = y0
a = x0

xi-1

xi

xn= b

x

Figura 3.1
Región D dividida en subrectángulos Dij

En otras palabras, la integral

∫∫

D

dA representa el volumen de un

sólido de sección transversal constante, cuya base es la región D
y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estascaracterísticas, el volumen se obtiene como el producto del área
de la base y la altura del mismo.
A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una
región plana.
ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
Sea D una región bidimensional D , tal que D ⊆

2

. Sea A el

área de la región D , entonces:
A = ∫∫ dxdy
D

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

(III.3)

77

Geraldine CisnerosRecuerde que una región
D es de tipo 1 si se
cumple:

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Observe que si la región D es de tipo 1, la ecuación anterior
queda como:

( x, y ) a ≤ x ≤ b ∧ 
D=

f ( x ) ≤ y ≤ g ( x ) 


A=∫

b
a

∫

g( x)
f ( x)

dydx = ∫

b
a

g ( x)

[ y ] f ( x ) dx

(III.3)

b

A = ∫  g ( x ) − f ( x )  dx
a

(III.4)

Donde la última integral, representa el áreacomprendida entre las
gráficas de y = f ( x ) y y = g ( x ) en el intervalo cerrado [ a,b ] . Esta
integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II, dentro
de las aplicaciones de la integral definida.

EJEMPLO 3.1

Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales
dobles:

∫∫

D

dxdy y

∫∫

D

dydx , D =

{ ( x, y ) x ≥ y

2

− 2y ∧

x ≤ 4 − y2

}

Solución:
La región D seencuentra acotada por las gráficas de las
parábolas horizontales x = y 2 − 2 y y x = 4 − y 2 , tal como se puede
observar en la siguiente figura.

Recuerde que la gráfica
de la ecuación:

x = y2 − 2 y

D

x = ay 2 + by + c
Es una parábola
horizontal

x = 4 − y2

Figura 3.2
Región

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

D del ejemplo 3.2

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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiplesy Sus Aplicaciones
a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble

∫∫

D

dxdy , es necesario definir los límites de integración, que se

ilustran en la figura 3.3

D
Observe que la región D
es una región tipo 2, por
lo cual el área se obtiene
empleando una sola
integral doble
de la
.
forma
dxdy

∫∫

Valor de x a
la entrada de D

Valor de x a
la salida de D
x = 4 − y2

x...