aplicaciones de la derivada jara

NOLAN JARA J.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Valores Extremos Absolutos (Valores máximos y mínimo absoluto)
Y
Valor máximo absoluto

(a,f(a))

f(a)  f(x), xa,b

M
M1
m1

M2
f(x2) f(x), x

m2

f(x1) < f(x)

ϐ: Y = f(x)

x

0

(x1-)
m

x1 (x1+)

(x2-)

X

x2 (x2+)

(b,f(b))
Valor mínimo absoluto
f(b)  f(x), x[a,b]

Definición:
Sea f: R R /y = f(x), x0  Dom (f)
1) Si f(x0)  f(x) x Dom (f)  f(x0): Valor Máximo absoluto de f
2) Si f(x0)  f(x) x Dom (f)  f(x0): Valor mínimo absoluto de f
Valores Extremos Relativos (ValoresMáximo y Mínimo Relativo)
Sea f: R R / y = f(x), x0  [a, b]  Dom (f)
1) Si f(x0)  f(x) x [a,b]  Dom (f)  f(x0): Valor Máximo relativo de f
2) Si f(x0)  f(x) x [a,b]  Dom (f)  f(x0): Valormínimo relativo de f
Y

Y
M = (x0, f(x0))

f(x0)
f(x)
(x,f(x))

f(x)
f(x0)
a

x

x0

b

M = Punto máximo relativo
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X

m = (x0, f(x0))
a

x

x0

X

b

m =Punto mínimo relativo
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NOLAN JARA J.
Funciones Creciente y Decreciente
Definición:
Sea f: RR / y = f(x)
1) f es creciente en [a,b]
Si x1  x2  f (x1)  f(x2) x
[a,b]
Y

LTmLT:

y = f(x)

f(x2)

f´(x)>0 x

X

f(x)
f(x1)

0

a x1 x

x2

b

X

2) f es creciente en [a,b]
Si x1  x2  f (x1)  f(x2) x
[a,b]
m LT: f´(x) 0 x  f escreciente en [a,b]
3) Sea x [a,b]  Dom( f ) tal que f ´(x) = 0 (ó f ´(x) no existe )
 x : punto crítico ,singular ó estacionario de f.
Criterio de la primera derivada para hallar los valores extremosrelativos
Sea f: RR / y = f(x), es continua en [a,b] y sea x0  un punto crítico de f , es
decir f´(x0) = 0 ó no existe, entonces:
1) Si f ´(x)0 x  m = (x0, f(x0)): mínimo relativo de f
2) Si f´(x)>0 x y f´(x)0  f tiene un valor mínimo relativo en el punto (x0, f(x0))
2) Si f ´´(x0) f ´(x2) x  f ´(x) es decreciente en [a,b]
 f ´´(x) < 0 x

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