Aplicaciones de la derivada

0.1. UNIDAD DE APRENDIZAJE 5

0.1.

Unidad de aprendizaje 5

0.1.1.

Aplicaciones de la derivada

0.1.2.

Razones de cambio relacionadas

Introducción:
En esta parte del curso se estudiarán problemas en los que se intenta encontrar la razón a la que
está cambiando alguna cantidad relacionándola con otra cantidad cuyas razón de cambio se conoce.

Objetivo:
Obtener una ecuaciónque relacione las dos cantidades y luego aplicar la regla de la cadena para
diferenciar ambos miembros de la ecuación; generalmente con respecto al tiempo.
Una estrategia para resolver estos problemas consiste en

1. Identi…car las cantidades que varían.

2. Encontrar una ecuación que relacione la cantidad que incluye la razón de cambio desconocida
con las cantidades cuyas razones de cambiose conocen.

3. Derivar ambos miembros de la ecuación (lo cual implica el uso de la regfa de la cadena) y
resolver para la derivada que dará la razón de cambio que se desea conocer.

4. Evaluar la derivada en el punto apropiado sustituyendo la información dada.

Ejemplo 1 Un automóvil denotado por A viaja hacia el oeste a una velocidad de 60 km/hr, mientras que otro automóvil denotado porB, viaja hacia el norte a una velocidad de 40 km/hr. Ambos
automóviles se dirigen hacia la intersección de las dos carreteras en línea recta. ¿ que velocidad
A
se aproximan los automóviles entre sí cuando A se encuentra a 2,200 m y B a 1,200 m de la
intersección de las dos carreteras?

Solución 2 La …gura 1 ilustra el problema, en donde C es la intersección de las dos carreteras. En
uninstante dado de tiempo t, sean x la distancia del automovil A a C, y la distancia de B a C y
1

0.1. UNIDAD DE APRENDIZAJE 5
z la distancia entre los automóviles; x; y y z se mide en metros.

C

x

y

A

z

B
Figura 1.

Se tiene por hipótesis, que dx=dt = 60 km/hr y dy=dt = 40 km/hr (las derivadas se han
considerado negativas porque x y y están dísminuyendo). En el problema sepide encontrar dz=dt.
La ecuación que relaciona a x; y y z está dada por el Teorema de Pitágoras:
z 2 = x2 + y 2 .
Diferenciando ambos miembros de la ecuación con respecto a t, obtenemos:
2z

dz
dx
dy
= 2x
+ 2y ;
dt
dt
dt

resolviendo la ecuación para dz=dt se tiene:
dz
1
=
dt
z

x

dx
dy
+y
dt
dt

;

luego, cuando x = 2; 200 m y y = 1; 200 m, del Teorema de Pitágorasse obtiene:
q
p
2
2
2 + y2 =
z= x
(2; 200) + (1; 200)
2; 506;00 m = 2;51 km,
de modo que

dz
dt

=

1
[2;20 ( 60) + 1;20 ( 40)]
2;51
71;71 km/hr.

Los automóviles se acercan entre sí a razón de 71;71 km/hr.
Ejemplo 3 Los depósitos grasos se acumulan de una manera uniforme en la pared de una arteria
cuya sección transversal es un círculo de 2 mm de radio. ¿ qué razón estácambiando el área de
A
la sección transversal de la arteria en relación con el espesor del depósito graso cuando este tiene
0.5 mm de espesor?
2

0.1. UNIDAD DE APRENDIZAJE 5
Solución 4 Sean
A el área de la sección transversal de la abertura arterial en mm2 y
h el espesor del depósito graso en mm.
La …gura 2 muestra una arteria circular imaginaria con un depósito de grasa uniforme en lapared
de esta.

pared
arterial

2 mm
h
A
depósito
graso

Figura 2

La razón a la que el área A de la abertura arterial varía en relación con el espesor h del depósito
graso es dA=dh. Debido a que se desea determinar la razón de cambio cuando h = 0;5 mm, se debe
encontrar
dA
:
dh h=0;5
En la …gura 2 se observa que el radio de la abertura arterial es r = (2
la abertura arterial es2
A = (2 h) .

h), de modo que el área de

Derivando ambos miembros de la ecuación con respecto a h; obtenemos
dA
=
dh

2 (2

h) .

De esta manera,
dA
dh

=

2 (2

0;5)

9;42 mm2 /mm.

h=0;5

Por lo tanto, cuando h = 0;5 mm, el área A de la abertura arterial está disminuyendo (observa el
signo negativo) a una razón que es aproximadamente 9.42 veces la razón a la...