Aplicaciones de la derivada

Apunte de Aplicaciones de la Derivada
Máximos y Mínimos
Sea f una función sobre un intervalo I que contiene a c
f(c) es el mínimo de f sobre I sí f(c) < f(x)
f(c) es el máximo de f sobre I síf(c) > f(x)
El mínimo y máximo de una función sobre un intervalo también se conocen como mínimo absoluto o máximo absoluto sobre el intervalo.
Teorema: Si f es continua sobre el intervalo [a,b],entonces f tiene un mínimo como máximo sobre el intervalo.
Definición:
Sí existe un intervalo absoluto que contiene a c sobre el intervalo f(c) es un máximo, entonces f(c) se conoce como máximo relativode f.
Sí existe un intervalo absoluto que contiene a c sobre el intervalo f(c) es un mínimo, entonces f(c) se conoce como mínimo relativo de f.


Número Crítico
Sea f definida en c. Sí f’(c) = 0o sí f’ no está definida en c, entonces c es un número crítico de f

Observación: No todo punto en que f’(c) es igual a cero o se indefine es un punto crítico

Ejemplo:

Funciones Creciente yDecreciente
Una función f es creciente sobre un intervalo si para cualquiera dos números x1 y x2, en un intervalo, implica que
Una función f es decreciente sobre un intervalo si para cualquierados números x1 y x2, en un intervalo, implica que
Prueba para las Funciones Crecientes y Decrecientes
Sea f una función continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable sobre el intervaloabierto ]a,b[:
Sí para todo x en ]a,b[, entonces f es creciente sobre [a,b]
Sí para todo x en ]a,b[, entonces f es decreciente sobre [a,b]
Sí para todo x en ]a,b[, entonces f es constante sobre[a,b]

Prueba de la Primera Derivada
Sea c un número crítico de una función f que es continua sobre un intervalo abierto I que contiene a c. Sí f es diferenciable sobre el intervalo, exceptoposiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue:
Sí cambia de negativa a positiva en c, entonces f(c) es un mínimo relativo de f
Sí cambia de positiva a negativa en c, entonces f(c) es...