Aplicaciones de la derivada

 República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación
I.U.P “Santiago Mariño”
Pto Ordaz –Edo Bolívar
Esc: 41 Arquitectura
















Puerto Ordaz 04/02/2014
ÍNDICE




Introducción……………………………………………………………………………………………………………………………..1
Desarrollo……………………………………………………………………………………………………………………………….15Conclusión………………………………………………………………………………………………………………………………16
Bibliografía…………………………………………………………………………………………………………………………….17






















INTRODUCCIÓN

En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de esta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema delvalor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.
Se puede enunciar de la siguiente manera,
Si \ f es una función continua definida en un intervalo cerrado \ [a, b], derivable sobre el intervalo abierto \ (a, b) y \ f\left(a\right) = f\left(b\right) , entonces:
Existe al menos un punto \ c perteneciente al intervalo \ (a, b)tal que \ f'(c) = 0.
Se sabe que existen tres posibilidades, o bien la función que consideramos es constante, o bien tiene algún punto x donde el valor de la función es mayor o bien este valor es menor que en los extremos. Para el primer caso es trivial que en algún punto la función tiene derivada nula (en la definición de derivada el cociente incremental es cero).
Gracias a la continuidad de f,la imagen de [a, b], es un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen.
La imagen por una función continua de un conjunto compacto es un conjunto compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitud finita: es de la forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo.
Si m = M , la función es constante, y cualquier punto c de (a, b)conviene. Descartado este caso, m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a f(a) = f(b). Supongamos que sea M. Entonces M > f(a) = f(b), y por lo tanto el máximo M está alcanzado en el interior del intervalo.
Sea c en [a, b] tal que f(c) = M. Por definición del máximo, M = f(c) ≥ f(x) para todo x de [a, b]. Entonces el cociente (f(c) - f(x)) / (c - x) es positivo cuando x  c (el denominador sevuelve negativo no nulo). Pero f'(c) es por definición el límite de este cociente cuando extiende hacia c. El límite por la izquierda, f '(c-), tiene que ser igual al límite por la derecha, f '(c+). Por lo tanto este límite común es nulo, o sea f '(c) = 0.
La demostración es muy similar si es el mínimo que está alcanzado en (a, b).




DEFINICIÓN DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES OEXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).1 2 3 De manera másgeneral, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Sea f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R} , sea x_0 \in A y sea P=\,(x_0, f(x_0)) un punto perteneciente a la función.
Se dice que P es un máximolocal de f si existe un entorno reducido de centro x_0 , en símbolos {E'(x_0)} , donde para todo elemento x de {E'(x_0)} se cumple f(x) \le f(x_0) . Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse f(x) < f (x_0).
Análogamente se dice que el punto P es un mínimo local de f si existe un entorno reducido de centro x_0 , en símbolos...