Aplicaciones De La Derivada
Ecuación de la tangente:
������ − ������ (������) = ������′(������)(������ − ������)
Ecuación de la normal:
������ − ������(������) = −
Segmento tangente |������������ |:
1
(������ − ������)
������′(������)
������ (������)
|������������| = �
� �1 + [������′(������)]2
������′(������)
Segmento normal |������������ |:
Segmento subtangente|������������|:
Segmento subnormal |������������ |:
tan ������ =
Ángulo entre curvas
������ = arctan �
������������ − ������������
1 + ������������ ������������
|������������| = |������(������)|�1 + [������′(������)]2
������ (������)
|������������| = �
�
������′(������)
|������������ | = |������(������) ∗ ������′(������)|
������′(������) − ������′(������)
�
1 +������′(������)������′(������)
E jemplos
1) En las siguientes funciones, hallar los ángulos bajo los que el gráfico de las funciones
cortan al eje de las abscisas:
a) ������(������ ) =
������
������+1
Como corta al eje de las abscisas en ������ = 0, entonces:
0=
������
������ + 1
������ = 0
La pendiente se calcula con la derivada de la función:
������ ′ (������) =
(������ + 1)(1) − ������ (1)
1
=
2
(������ +1)2
(������ + 1)
Y la tan ������ representa la pendiente en función del ángulo, entonces:
tan ������ =
tan ������ =
b) 4������ 3 − 2������ 3 = ������
1
(������ + 1)2
1
(0 + 1)2
tan ������ = 1
������ =
������
4
Como corta al eje de las abscisas en ������ = 0, entonces:
4������ 3 − 2 ∗ 03 = ������
4������ 3 − ������ = 0
������ (2������ + 1)(2������ − 1) = 0
������= 0
⎧
⎪ ������ = 1
2
⎨
1
⎪������ = −
⎩
2
La pendiente se calcula con la derivada de la función:
12������ 2 − 6������ 2 ������ ′ = 1
������ ′ =
12������ 2 − 1
6������ 2
Y la tan ������ representa la pendiente en función del ángulo, entonces:
1) ������ = 0 ; ������ = 0
12(0)2 − 1
tan ������ =
6(0)2
−1
������ = arctan � �
0
3
������ = ������
2
tan ������ =12������ 2 − 1
6������ 2
2) ������ = 2 ; ������ = 0
1
tan ������ =
12
12 �2� − 1
6(0)2
2
������ = arctan � �
0
3) ������ = − 2 ; ������ = 0
1
tan ������ =
12
12 �− 2� − 1
6(0)2
2
������ = arctan � �
0
1
������ = ������
2
������ = 6������ − ������ 2
c) �
������ = 3������
1
������ = ������
2
Como corta al eje de las abscisas en ������ = 0, entonces:
0 =3������
������ = 0
La pendiente se calcula con la derivada de la función:
������ ′ = 6 − 2������
������ ′ (������) =
;
������ ′ = 3
3
3
1
������ ′
=
=
=
′
������
6 − 2������ 6 − 2(0) 2
Y la tan ������ representa la pendiente en función del ángulo, entonces:
tan ������ =
1
2
������ = 0.46364
2) En las siguientes funciones, hallar los puntos en los que las tangentes algráfico de la
función son paralelos al eje de las abscisas:
a) ������(������ ) =
1
√1−������ 2
−2������
La pendiente se calcula con la derivada de la función:
������
������
������ ′ (������) = − 2√1 − 2 =
1 − ������
�(1 − ������ 2 )3
2
Como la recta tangente es paralela al eje de las abscisas, entonces tiene pendiente igual a cero, es
decir:
������
�(1 − ������ 2 )3������ = 0
=0
Remplazando el valor de ������ en la ecuación principal, nos da:
������ =
1
√1 − 02
=1
Entonces, el punto donde la recta tangente a la gráfica de ������(������ ) es paralela al eje de las abscisas es:
b) ������(������ ) = ������ + √1 − ������ 2
������ = (0, 1)
−2������
La pendiente se calcula con la derivada de la función:
������ ′ (������) = 1 +
2√1 −������ 2
=1−
������
√1 − ������ 2
Como la recta tangente es paralela al eje de las abscisas, entonces tiene pendiente igual a cero, es
decir:
1−
������
√1 − ������ 2
=0
�1 − ������ 2 = ������
1 − ������ 2 = ������ 2
2������ 2 = 1
������ = ±
√2
2
Remplazando el valor de ������ en la ecuación principal,...
Regístrate para leer el documento completo.