Aplicaciones de la derivada

´
ESCUELA POLITECNICA
NACIONAL
Calculo en una Variable
Aplicaciones de la derivada
¿Qu´e ´
angulos forman con el eje de abscisas, al cortarse con ´este en elorigen de coordenadas, las sinusoides
y = sin x e y = sin 2x?

Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la par´abola
√
y= x
en el punto cuyaabscisa es x = 4.

¿Qu´e ´
angulo forman entre s´ı las par´
abolas y = x2 e y = x3 al cortarse?.

Por el eje OX se mueven dos puntos que tienen respectivamente lasleyes de movimiento
x = 100 + 5t
y
1 2
t ,
2
donde t ≥ 0. ¿Con qu´e velocidad se alejaran estos puntos, el uno del otro, en el momento de su encuentro
(x se daen cent´ımetros; t, en segundos)?
x=

Determinar los coeficientes p y q del trinomio cuadrado y = x2 + px + q, de tal forma que y = 3 sea un
m´ınimo de estetrinomio cuando x = 1. Dar la explicaci´on geom´etrica del resultado obtenido.

Dividir un n´
umero positivo dada a en dos sumandos, de tal forma, que su productosea el mayor posible.

Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie lateral posible.

Inscribir un rect´
angulo de mayor ´
areaposible en el segmento de la par´abola y 2 = 2px cortado por la recta
x = 2a.

Un corredor tiene que ir desde el punto A, que se encuentra en una de las orillas deun r´ıo. Sabiendo que
la velocidad del movimiento por la orilla es k veces mayor que la del movimiento por el agua, determinar
bajo que ´
angulo deber´
aatravesar el r´ıo, para llegar al punto B en el menor tiempo posible. La anchura
del r´ıo es h; la distancia entre los puntos A y B (por la orilla), es d.