Aplicaciones_de_la_derivada

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE FARMACIA
CATEDRA DE MATEMATICA-FISICA

GUÍA N°5 : Derivadas n-ésimas y aplicaciones de la derivada

I.

Para cada una de las siguientes funciones calcular la derivada del orden pedido y
simplificarlas.
2 + 3x
; Hallar y′′ .
2 − 3x

1. y =

2. y = 4 + x 2 ; Hallar y′′ .
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

x2
; Hallar y′′ .
y= 2
x +4
y = tgx + sec x . Hallar y′′ .
1−x
. Hallar y′′′ .
y=
1+ x
y = x 3 + 3 x 2 − 2 x − 8 .Hallar y′′′ .
y = sen(3 x) . Hallar y′′′(π ) .
y = sen 2 (π x) . Hallar y′′(2) .
y = x cos(π x) . Hallar y′′(2) .

π

10. y = x cos 2 ( x + ) . Hallar y′′′ .
2
II.
1.

Sol. 72(2 − 3 x) −3
Sol.
Sol.
Sol.
Sol.
Sol.
Sol.
Sol.
Sol.

4 4 + x2
(4 + x 2 ) 2

8(4 − 3 x 2 )
( x 2 + 4)3
(1 + senx ) 2 sec3 x
12
−
(1 + x) 4
6
27
2π 2
−2π 2

Sol. 4 xsen(2 x+ π ) − 6 cos(2 x + π )

DERIVADAS N-ÉSIMAS: Calcular las siguientes derivadas n-ésimas.
y = xe x

Sol. ( x + n)e x

2. y =

Sol.

3.

1
a + bx
y = x ln x

Sol.

4.

y = sen(ax)

Sol.

5. y = ln( x + 1)

Sol.

6. y = log x

Sol.

(−1) n b n n !
(a + bx) n +1
(−1) n (n − 2) ! x − ( n −1)
nπ
a n sen(ax + )
2
(n − 1)!
(−1) n −1
( x + 1) n
(−1) n −1.( n − 1)!log e x − n

nπ 

Sol. cos  x +

2 
(−1) n (n + 1)!
Sol.
x n+2
(−1) n 3n n !
Sol.
(3 x + 2) n +1
2n !
Sol.
(1 − x) − n +1

7. y = cos x
8. y =

1
x2

1
3x + 2
2
10. y =
1− x

9. y =

III. PROBLEMAS DE MOVIMIENTO
1. Las posiciones de dos partículas P 1 y P 2 que se mueven sobre una línea recta al cabo
de
t
segundos
son,
respectivamente,
y
S1 (t ) = 3t 3 − 12t 2 + 18t + 5
3
2
S 2 (t ) = −t + 9t − 12t . ¿Cuándo tienen la mismavelocidad? (Sol. t=5/2 seg. o t=1
seg.)
2. Dos partículas se mueven sobre una línea recta y al cabo de t segundos sus distancias
en metros respecto al origen están dadas por S1 (t ) = 4t − 3t 2 y S 2 (t ) = t 2 − 2t ,
respectivamente.
a) ¿Cuando tienen la misma velocidad? (Sol. t=3/4 seg.)
b) ¿Cuando tienen la misma rapidez? (Sol. t 1 =1/2 seg. y t 2 =3/4 seg.)
c) ¿Cuando tienen la misma posición? (Sol. t1 =0 seg. y t 2 =3/2 seg.)
3. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba, alcanzando una altura de
S (t ) = −16t 2 + 48t + 256 metros después de t segundos.
a) ¿Cuál es su velocidad inicial? (Sol. 48 m/seg.)
b) ¿Cuándo alcanza su altura máxima? (1.5 seg.)
c) ¿Cuál es su altura máxima? (Sol. 292 m)
d) ¿Cuándo llega nuevamente al piso? (Sol. 5.77 seg.)
e) ¿Con qué velocidad llega al piso? (Sol.136.7 m/seg.)
1
4. Un punto recorre en línea recta la distancia
S (t ) = t 3 − 16t . Determinar la
3
aceleración en el punto en el cual su velocidad se anula. (Sol. a=8 m/seg2)
5. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba hasta alcanzar la altura
S (t ) = 6 + 24t − 5t 2 al cabo de t segundos. ¿Hasta cuándo subirá? ¿Cuál es el punto más
alto alcanzado? ¿Qué velocidad y aceleración tienecuando t=2 seg? (Sol. t=2,4 seg.,
h=34.8 m, v=4 m/seg. y a=−10 m/seg 2)
IV. PROBLEMAS DE RAZÓN DE CAMBIO
1. El radio de un círculo crece 2 cm cada minuto. Hallar la razón de cambio del área para:
a) R= 6 cm (Sol. 24π cm2/min)
b) R=24 cm (Sol. 96π cm2/min)

2

2. Un globo esférico se hincha a razón de 20 cm3 por minuto. Cómo varía el radio en el
instante en el cual su radio es:
a) 1 cm (Sol. 5/πcm/min)
b) 2 cm (Sol. 5/4π cm/min)
3. Todas las aristas de un cubo crecen a razón de 3 cm/seg. ¿con qué rapidez cambia el
volumen cuando cada arista mide 10 cm? (Sol. 900 cm3/seg.)
4. Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada en una pared. Si la base resbala a
razón de 2 pies/seg, ¿a qué velocidad baja su extremo superior cuando la base está a 24
pies de la pared? (Sol. −48/7 pies/seg.)
5. Unglobo asciende verticalmente a razón de 10 pies/seg. desde un punto A que se
encuentra a 100 pies de un observador. Hallar la razón de cambio del ángulo de
elevación del globo respecto al observador, cuando éste se encuentra a 100 pies de
altura. (Sol. 1/20 rad/seg.)
6. El ancho de un rectángulo es la mitad del largo. ¿A qué razón aumenta su área cuando
el ancho mide 10 cm y varía a razón de 0.5...