APLICACIONES DE LA GENERALIZACION DEL PROBLEMA DE APOLONIO

PROBLEMAS DE APLICACION
DE LA GENERALIZACION DEL
PROBLEMA DE APOLONIO

Problema 1
Dibujar una circunferencia tangente a c1 y r que forme 60º con c2

c1

CROQUIS

60º

c2

t

Dibujar una circunferencia tangente a c1 y r que forme 60º con c2
Datos del problema:

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 y r que forme 60º con c2
Dibujamos la circunferencia isogonal de 60º para c2:

c1c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 y r que forme 60º con c2
Sustituimos la doble condición de tangencia con c1 y r por una condición de
ortogonalidad: la solución será ortogonal a la circunferencia del haz c1-r
ortogonal a su vez a la recta tangente a c1 y r (roja)

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 y r que forme 60º con c2
Trazamos la circunferencia del haz c1-rque sea ortogonal a la recta roja (en
azul); la solución será ortogonal a ella

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 y r que forme 60º con c2
Sustituimos la doble condición de tangencia con r y ángulo de 60º con c2 por
una condición de ortogonalidad: la solución será ortogonal a la circunferencia
del haz c1-r ortogonal a su vez a la recta tangente a r y que forme 60º con c2(tangente a la circ. isogonal) (roja)

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 y r que forme 60º con c2
Trazamos la circunferencia del haz c2-r que sea ortogonal a la recta roja (en azul); la
solución será ortogonal a ella.

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 y r que forme 60º con c2
Por tanto, hemos convertido el problema en trazar una circunferencia ortogonal a las
doscircunferencias azules y que sea tangente a r.

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 y r que forme 60º con c2
Como las dos circunferencias definen un haz elíptico, la solución pertenecerá al haz
hiperbólico ortogonal, que tiene como puntos límite los puntos de corte de las dos
circunferencias.

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 y r que forme 60º con c2
Trazamos eleje radical del haz (mediatriz de los puntos límite y lo prolongamos hasta
que corte a r.

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 y r que forme 60º con c2
Desde ese punto tomamos la tangente a un punto límite (circ. de radio 0) y la
llevamos sobre la recta, hallando el punto de tangencia.

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 y r que forme 60º con c2
Tomando laperpendicular a r en el punto de tangencia y prolongando la recta de
centros del haz hallamos el centro de la solución.

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 y r que forme 60º con c2
Y la dibujamos. FIN

c1

c2

r

Problema 2
Dibujar una circunferencia tangente a c1 que forme 60º con c2 y r
c1

CROQUIS

60º

60º

c2

t

Dibujar una circunferencia tangente a c1 que forme 60º con c2 y rDatos del problema:

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 que forme 60º con c2 y r
Dibujamos la circunferencia isogonal de 60º para c2:

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 que forme 60º con c2 y r
Sustituimos la doble condición de tangencia con c1 y 60º con r por una
condición de ortogonalidad: la solución será ortogonal a la circunferencia del
haz c1-r ortogonal asu vez a la recta que forma 60º con r y tangente a c1
(dibujada en rojo)

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 que forme 60º con c2 y r
Trazamos la circunferencia del haz c1-r que sea ortogonal a la recta roja (en azul); la
solución será ortogonal a ella.

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 que forme 60º con c2 y r
Sustituimos la doble condición de ángulo de 60ºcon r y ángulo de 60º con c2 por una
condición de ortogonalidad: la solución será ortogonal a la circunferencia del haz c2-r
ortogonal a su vez a la recta que forma 60º con r y que forma 60º con c2 (tangente a
la circ. isogonal) (dibujada en rojo, ya fue usada para la c. isogonal).

c1

c2

r

Dibujar una circunferencia tangente a c1 que forme 60º con c2 y r
Trazamos la circunferencia del haz...