Aplicaciones de la integral definida en la ingenieria

´ TEMA 3 F. MATEMATICOS.

TEMA 3 Integraci´n de funciones reales de variable real. o
Las integrales formalizan un concepto bastante sencillo e intuitivo, el de area. Los or´ ´ ıgenes del c´lculo de areas los podemos encontrar en el “m´todo de exhauci´n”desarrollado por los a ´ e o griegos hace m´s de 2000 a˜os: consiste en ir inscribiendo en la regi´n cuya area se quiere a n o ´ ´ calcular,regiones poligonales que la aproximan y cuya area seamos capaces de calcular. Este m´todo fue usado por Arqu´ e ımedes de Siracusa para calcular el area encerrada por funciones ´ “sencillas”, el eje de abscisas y las rectas verticales x = a y x = b. Por ejemplo, la del area ´ encerrada bajo un segmento de par´bola. a Primero, debemos proceder al c´lculo de primitivas de una funci´n, para luego poderresolver a o las integrales definidas y como aplicaci´n, calcular areas de figuras planas y vol´menes. o ´ u

1.

Integral indefinida. M´todos de integraci´n. e o

Definici´n 1 Dada una funci´n f definida en [a, b], llamaremos primitiva de f a cualquier o o funci´n F derivable en [a, b] verificando que F = f . o Conociendo las reglas de derivaci´n, es f´cil calcular primitivas de algunasfunciones elementales. o a Veamos unos ejemplos sencillos de c´lculo de primitivas, que ilustran la siguiente propiedad: a dos funciones primitivas F y E de una funci´n f , difieren forzosamente en una constante. o Ejemplos: Una primitiva de la funci´n f (x) = x2 es F (x) = x + C, con C cualquier constante. Efeco 3 tivamente, F es derivable en cualquier intervalo [a, b] y F = f , sea cual sea la constanteC. Una primitiva de la funci´n f (x) = o cualquier constante.
1 x
3

en [1, +∞] es la funci´n E(x) = ln x + C, con C o

Llamaremos integral indefinida de f , y la denotamos por primitiva de f . Por tanto, si F es un primitiva de f , se tendr´ que a C una constante arbitraria.

f (x) dx, a toda funci´n o f (x) dx = F (x) + C, con

INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES: Se obtienendirectamente a partir de las derivadas de las funciones elementales

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´ FUNDAMENTOS MATEMATICOS

´ TEMA 3 F. MATEMATICOS. xn+1 + C, n+1 1 dx = tan x + C cos2 x 1 dx = −cotgx + C sen2 x 1 dx = arctan x + C 1 + x2 −1 dx = arccotgx + C 1 + x2 1 √ dx = arcsenx + C, 1 − x2 −1 √ dx = arccosx + C, 1 − x2 x ∈ (−1, 1) x ∈ (−1, 1).

xn dx =

n=1 x>0 1=a>0

1 dx = ln x+ C, x ax dx = ax + C, ln a

ex dx = ex + C senx dx = − cos x + C cos x dx = senx + C

INTEGRALES INMEDIATAS: Teniendo en cuenta la regla de la cadena y sabiendo estas reglas directas de integraci´n podemos calcular, “completando” constantes, otras integrales: o Tipo potencial: x2 (3x3 + 25)3 dx = 1 9 9x2 (3x3 + 25)3 dx = 1 (3x3 + 25)4 + C. 9 4
3

Tipo exponencial:

x 4

2 x3 +5

1dx = 3 ln 4

3(ln 4)x 4

2 x3 +5

4x +5 dx = + C. 3 ln 4

Tipo logaritmo: Tipo arcotangente: 2x2 dx = +x+1

senx − cos x dx = − senx + cos x

−senx + cos x dx = − ln(senx + cos x) + C. senx + cos x

16x2

8 dx = 8 + 8x + 8

dx =8 (4x + 1)2 + 7

(1/7)dx
(4x+1)2 7

+1

=

8 7

dx
4x+1 √ 7 2

+1

(Terminar esta integral como ejercicio). Nos interesa transformarproductos en sumas de funciones cuyas integrales conozcamos, ya que, por linealidad, sus integrales son m´s sencillas. Con esta idea, podremos calcular las a siguientes integrales: Tipo sen(px) cos(qx) dx, sen(px) sen(qx) dx, cos(px) cos(qx).

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´ FUNDAMENTOS MATEMATICOS

´ TEMA 3 F. MATEMATICOS. Se transforman los productos en sumas mediante las f´rmulastrigonom´tricas o e sen2 a + cos2 a = 1 sen a cos b = sen a sen b = cos a cos b = 1 [sen(a + b) + sen(a − b)] 2 1 [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 [cos(a + b) + cos(a − b)]. 2 1 − 1, con lo que ser´ f´cil calcular una a a cos2 x

De la primera f´rmula se obtiene que tan2 x = o primitiva de tan2 x (calcularla como ejercicio).

´ CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCION: Una integral puede transformarse en...