Aplicaciones de la integral definida

Aplicaciones de la integral definida
Luis Ángel Zaldívar Cruz 15 de mayo de 2007

5.

Aplicaciones de la integral definida1

En este tema estudiaremos las aplicaciones de la integral definida en el cálculo del área entre curvas, de volúmenes de sólidos, trabajo, fuerza y centros de masa.

5.1.

Determinación del área entre curvas

Considere la región S que se encuentra entre dos curvasy = f (x) y y = g(x) y las rectas verticales x = a y x = b, donde f y g son funciones continuas y f (x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. (Ver la Figura 1) Dividamos la región S en n franjas de igual amplitud y entonces obtengamos una aproximación de la i-ésima franja por medio de un rectángulo con base ∆x y altura f (x∗ ) − g(x∗ ).(Ver la Figura 2 y 3) i i La suma de Riemann
n X i=1

[f (x∗ ) −g(x∗ )] ∆xi i i

es una aproximación de lo que intuitivamente consideramos el área de S. Esta aproximación se puede mejorar haciendo n.más grande Por lo tanto, definimos el área A de S, como el límite de la suma de Riemann cuando n → ∞. Definición 1 Si f y g son continuas y f (x) ≥ g(x) para todo x en [a, b], entonces el área A de la región acotada por las gráficas de f y g y las rectas x = a y x =b, es A = = l´ ım
b a n X i=1

Z

kP k→0

[f (x∗ ) − g(x∗ )] ∆xi i i

(1)

[f (x) − g(x)]dx.

1 Tomado de Cálculo de una variable, James Stewart, Thomson Learning, 4a. Edición y de Calculus with Analytic Geometry, —4th Edition, E.W. Swokowski, PWS publishers.

1

Figura 1: Area entre las curvas f (x) y g(x).

Figura 2: Rectángulo típico.

2

Figura 3: Rectángulos deaproximación. Ejemplo 1 Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las funciones y = ex y y = x y las rectas x = 0 y x = 1. Solución. En la Figura 4 se muestra la región pedida y un rectángulo típico de la aproximación. En general, cuando planteamos una integral para calcular un área, resulta útil dibujar la región para identificar la curva que está arriba y la que está abajo y unrectángulo típico de la aproximación Utilizamos la fórmula (1) del área con f (x) = ex , g(x) = x, a = 0 y b = 1: Z 1 A = (ex − x)dx ¸1 · x2 x = e − 2 0 = e − 1,5.
0

Ejemplo 2 Encuentre el área de la región encerrada por las parábolas y = x2 y y = 2x − x2 . Solución. Este ejemplo se diferencia del anterior en que hay que determinar las fronteras laterales a y b, que en este caso son los puntos deintersección de las gráficas de las curvas. Para hallar estos puntos de intersección se resuelven las 3

Figura 4: ecuaciones de las parábolas simultáneamente; esto es, igualando las ecuaciones obtenemos x2 = 2x − x2 =⇒ 2x2 − 2x = 0 o 2x(x − 1) = 0 =⇒ x = 0 o x = 1. Los puntos de intersección son: (0, 0) y (1, 1). En la figura 5 vemos que f (x) = 2x − x2 y g(x) = x2 .El área de un rectángulo típico es(2x − x2 − x2 )∆x y la región se encuentra entre x = 0 y x = 1. Por lo tanto, el área total es Z 1 Z 1 (2x − 2x2 )dx = 2 (x − x2 )dx A = ¸1 x3 x2 = 2 − 2 3 0 µ ¶ 1 1 1 = 2 − −0 = . 2 3 3 ·
0 0

Ejemplo 3 Calcule el área de la región acotada por las curvas y = sen x, y = cos x, x = 0 y x = π/2. Solución. Los puntos de intersección se determinan haciendo sen x = cos x y considerando el intervalo0 ≤ x ≤ π/2. Esto se da en x = π/4. En la Figura 4

Figura 5: Area entre las curvas f (x) = 2x − x2 y g(x) = x2 . 6 se proporciona un esquema de la región. Si consideramos que f (x) = sen x y g(x) = cos x, vemos que en la región acotada por el intervalo [0, π/4], g(x) ≥ f (x), mientras que en el intervalo [π/4, π/2], f (x) ≥ g(x). Esto implica que es necesario dividir la región en dossubregiones y calcular las áreas por separado (En la figura 6, la primera subregión se muestra en color rosa y la segunda en color azul).Aplicando la definición 1 , el área A1 es X A1 = l´ ım [cos x∗ − sen x∗ ] ∆xi i i
kP k→0

=

= [sen x + cos x]π/4 0 √ = 2 2 y el área A2 es A2 = =
kP k→0

Z

i

π/4

0

[cos x − sen x] dx

l´ ım

Z

π/2

X
i

[sen x∗ − cos x∗ ] ∆xi i i

π/4...