APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEL CALCULO DE DISTANCIAS
Páginas: 10 (2323 palabras)
Publicado: 21 de marzo de 2015
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEL CALCULO DE DISTANCIAS
PROBLEMAS DE MOVIMIENTO
En este apartado podrás encontrar algunas aplicaciones de la integral, relacionadas con el movimiento de un objeto. Por ejemplo conociendo la velocidad de un móvil, se trata de conocer la distancia recorrida o conociendo su aceleración sería deseable conocer su velocidad.
Objetivo
Calcular distancias o velocidadesde un móvil, a partir de la velocidad o la aceleración respectivamente.
Conceptos previos
Es de suma importancia tener en cuenta el corolario del Teorema Fundamental del Cálculo que dice:
Es importante saber que la velocidad es la razón de cambio instantáneo de la distancia recorrida respecto al tiempo, es decir: .
También es importante saber que la aceleración es la razón de cambio instantánea dela velocidad respecto al tiempo, es decir: .
Así que si se conoce la velocidad de un móvil en el intervalo de tiempo [a,b], la distancia recorrida se puede calcular mediante la integral definida, es decir: , pero inclusive se puede calcular la distancia recorrida en cualquier instante del intervalo, mediante: .
Similarmente, si deseamos calcular la velocidad a partir de la aceleración, encualquier instante de un intervalo [a,b], se puede realizar mediante: .
ESPACIO RECORRIDO EN UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Para un objeto con movimiento rectilíneo la función posición, s(t), y la función velocidad, v(t), se relacionan por s(t) = .
De este hecho y del teorema fundamental del cálculo se obtiene:
= = s(t2) - s(t1)
La posición del objeto en el instante t1 está expresada por s(t1) y s(t2) es la posición en el instante t2, la diferencia s(t2) - s(t1) es el cambio de posición o desplazamiento del objeto durante el intervalo de tiempo [t1, t2].
Un desplazamiento positivo significa que el objeto está más hacia la derecha en el instante t2 que en el instante t1, y un desplazamiento negativo significa que el objeto está más hacia la izquierda. En el caso en que v(t) ³ 0 en todo elintervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve en la dirección positiva solamente, de este modo el desplazamiento s(t2) - s(t1) es lo mismo que la distancia recorrida por el objeto.
En el caso en que v(t) £ 0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la dirección negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t2) - s(t1) es el negativo de la distancia recorrida por el objeto.
En elcaso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrás y el desplazamiento es la distancia recorrida en la dirección positiva menos la distancia recorrida en la dirección negativa. Si quiere encontrarse la distancia total recorrida en este caso (distancia recorrida en la dirección positiva más ladistancia recorrida en la dirección negativa) debe integrarse el valor absoluto de la función velocidad, es decir:
distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo [t1, t2]
=
POR EJEMPLO:
Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle:
a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.b) la distancia recorrida durante ese tiempo.
a) = = = 0.
Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t = 3 que en el instante t = 0.
b) La velocidad puede escribirse como v(t) = t ( t - 2) de modo que v(t) ³ 0 si 2 £ t £ 3 y la velocidad es negativa si 0 £ t £ 2.
La distancia recorrida es:
=
==
distancia recorrida = = .
Podemos asegurar que la distancia recorridaes de metros.
TRABAJO
El concepto de trabajo es importante para los científicos e ingenieros cuando necesitan determinar la energía necesaria para realizar diferentes tareas físicas. Es útil conocer la cantidad de trabajo realizado cuando una guía eleva una viga de acero, cuando se comprime un muelle, cuando se lanza un cohete o cuando un camión transporta una carga por una carretera. En el...
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEL CALCULO DE DISTANCIAS
PROBLEMAS DE MOVIMIENTO
En este apartado podrás encontrar algunas aplicaciones de la integral, relacionadas con el movimiento de un objeto. Por ejemplo conociendo la velocidad de un móvil, se trata de conocer la distancia recorrida o conociendo su aceleración sería deseable conocer su velocidad.
Objetivo
Calcular distancias o velocidadesde un móvil, a partir de la velocidad o la aceleración respectivamente.
Conceptos previos
Es de suma importancia tener en cuenta el corolario del Teorema Fundamental del Cálculo que dice:
Es importante saber que la velocidad es la razón de cambio instantáneo de la distancia recorrida respecto al tiempo, es decir: .
También es importante saber que la aceleración es la razón de cambio instantánea dela velocidad respecto al tiempo, es decir: .
Así que si se conoce la velocidad de un móvil en el intervalo de tiempo [a,b], la distancia recorrida se puede calcular mediante la integral definida, es decir: , pero inclusive se puede calcular la distancia recorrida en cualquier instante del intervalo, mediante: .
Similarmente, si deseamos calcular la velocidad a partir de la aceleración, encualquier instante de un intervalo [a,b], se puede realizar mediante: .
ESPACIO RECORRIDO EN UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Para un objeto con movimiento rectilíneo la función posición, s(t), y la función velocidad, v(t), se relacionan por s(t) = .
De este hecho y del teorema fundamental del cálculo se obtiene:
= = s(t2) - s(t1)
La posición del objeto en el instante t1 está expresada por s(t1) y s(t2) es la posición en el instante t2, la diferencia s(t2) - s(t1) es el cambio de posición o desplazamiento del objeto durante el intervalo de tiempo [t1, t2].
Un desplazamiento positivo significa que el objeto está más hacia la derecha en el instante t2 que en el instante t1, y un desplazamiento negativo significa que el objeto está más hacia la izquierda. En el caso en que v(t) ³ 0 en todo elintervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve en la dirección positiva solamente, de este modo el desplazamiento s(t2) - s(t1) es lo mismo que la distancia recorrida por el objeto.
En el caso en que v(t) £ 0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la dirección negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t2) - s(t1) es el negativo de la distancia recorrida por el objeto.
En elcaso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrás y el desplazamiento es la distancia recorrida en la dirección positiva menos la distancia recorrida en la dirección negativa. Si quiere encontrarse la distancia total recorrida en este caso (distancia recorrida en la dirección positiva más ladistancia recorrida en la dirección negativa) debe integrarse el valor absoluto de la función velocidad, es decir:
distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo [t1, t2]
=
POR EJEMPLO:
Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle:
a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.b) la distancia recorrida durante ese tiempo.
a) = = = 0.
Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t = 3 que en el instante t = 0.
b) La velocidad puede escribirse como v(t) = t ( t - 2) de modo que v(t) ³ 0 si 2 £ t £ 3 y la velocidad es negativa si 0 £ t £ 2.
La distancia recorrida es:
=
==
distancia recorrida = = .
Podemos asegurar que la distancia recorridaes de metros.
TRABAJO
El concepto de trabajo es importante para los científicos e ingenieros cuando necesitan determinar la energía necesaria para realizar diferentes tareas físicas. Es útil conocer la cantidad de trabajo realizado cuando una guía eleva una viga de acero, cuando se comprime un muelle, cuando se lanza un cohete o cuando un camión transporta una carga por una carretera. En el...
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