Aplicaciones de la integral

UNIDAD 3 APLICACIONES DE LA INTEGRAL
3.1 AREA
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" comosinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido untensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
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HISTORIA
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Niloinundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.1
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de unafigura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhausción de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedespara resolver otros problemas similares,2 así como el cálculo aproximado del número π.
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
ÁREA DE UN TRIÁNGULO


Áreas.
• El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:3

donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)
• Si eltriángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:

donde a y b son los catetos.
• Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplica la fórmula de Herón.

donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
• Si el triángulo es equilátero, el área esigual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:

donde a es un lado del triángulo.
ÁREA DE UN CUADRILÁTERO


Trapezoide.
• El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del angulo que forman.

El área también se puede obtener mediante triangulación:

Siendo:
el ángulo comprendido entre los ladosy .
el ángulo comprendido entre los lados y .
• El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:3

• El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

• El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez unrectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:3

• El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:3

• El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media...