Aplicaciones De La Integral

Unidad 3. Aplicaciones de la integral
3.1 Áreas
Para el cálculo de áreas de regiones planas consideraremos en primer lugar el caso en que la región está determinada por la gráfica de una función en [a,b] y el eje Ox, y después el caso en que la región la determinan los gráficos de dos funciones en [a,b], distinguiendo entre si estas funciones se cortan o no.

Área de una región determinadapor la gráfica de una función en [a,b] y el eje Ox.
La función toma valores positivos en todo [a,b].Sea una función f (x) definida en el intervalo [a,b]. Si la función es no negativa en [a,b], es decir, si f (x) ≥ 0 para todo x∈[a,b] , entonces el valor de la integral definida de f (x) entre a y b.
Sea a∫ f x dx, es igual al área delimitada por la gráfica de la función f (x) con el eje Ox entrelas líneas verticales determinadas por x = a y x = b , tal como se muestra en la figura. Observamos que cuando f (x) es no negativa, su gráfica se sitúa por encima del eje Ox, en la parte positiva del eje de ordenadas.

La función toma valores negativos en todo [a,b].
Si la función f (x) es negativa (su gráfica se sitúa en la parte del plano que corresponde al eje de ordenadas negativo) entoncesel valor de la integral  a∫ f x dx es negativo e igual en valor absoluto al del área delimitada por la gráfica de la integral con el eje Ox entre les líneas x = a y x = b. Con lo cual el área de la zona delimitada por la función con el eje Ox es  a−∫ f x dx. En general, si el área que se quiere calcular la delimita, con el eje Ox y x = a y x = b
La gráfica de una función f (x) cuyo signo a lolargo del intervalo [a, b] pasa de positivo a negativo, o al contrario, habrá que tenerlo en cuenta y hacer el cálculo del área total sumando las áreas parciales calculadas en los intervalos de signo constante.

Área determinada por los gráficos de dos funciones en [a,b].
Las gráficas de las funciones no se cortan en [a, b].Dadas dos funciones f (x) y g(x) , para calcular el área determinada porsus gráficas entre las líneas verticales x = a y x = b bastará calcular las áreas determinadas por cada gráfica con el eje Ox, entre x = a y x = b , y después restar o sumar dichas áreas según sea la situación. Consideremos en primer lugar el caso en que una de las funciones es mayor o igual que la otra en todo el intervalo considerado. Es el caso en que la gráfica de una de las funciones se sitúapor encima de la gráfica de la otra. Supongamos, por ejemplo que f (x) ≥ g(x) en todo [a, b]. Entonces el área buscada es la integral de la diferencia entre las funciones
 f (x) y g(x) , o sea ∫ f x dx − ∫ g x dx =∫ f x − g x dx

A continuación se explicaran los 2 tipos de áreas a estudiar en esta unidad:

Área bajo la gráfica de una función Área entre lasgráficas de funciones

3.1.1 Áreas bajo la gráfica de una función
En matemáticas, la integración de una función no negativa, en el caso más simple, puede ser mirada como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x.
La integral de una función f entre los límites de integración a y b pueden ser interpretados como el área bajo la gráfica de f. 
f (x) ≥ 0. Vx є (a.b)
Esto es fácil de entenderpara funciones que nos son familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica.
Nos planteamos el siguiente problema: ¿Cómo podemos calcular el área comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b, la grafica de la función 'f' y el eje 'x'? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:Esta área es el valor de la integral
entre a y b de f y la denotamos por:

abf xdx

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral definida es una familia de funciones (el conjunto de primitivas de la función que se integra).
Así...