aplicaciones de la integral

CAPÍTULO 5
APLICACIONES
DE LA INTEGRAL
DEFINIDA
Cuando estamos jugando o viendo jugar algún deporte no pensamos en cuestiones de ciencia
o de ingeniería. Sin embargo, el diseño de equipamiento deportivo se ha convertido en una
empresa muy técnica, con papel importante de las Matemáticas. Una comparación superficial de la raqueta de tenis de madera de 1980 y la Kevlar de 1990 basta paradesvelar el
impacto dramático de la tecnología en el deporte (véase la fotografía adjunta).
Uno de los principales objetivos en el diseño de una raqueta de tenis es crear un «punto
dulce» lo más extenso posible. Se llama así a la zona de la raqueta que produce un golpe
ideal. Para algunos jugadores, ideal significa máxima potencia, para otros vibración mínima
de la raqueta. Ambos conceptos sontraducibles en términos de problemas de ingeniería susceptibles de ser analizados mediante integrales definidas.
El diseño de una raqueta de tenis comienza por el estudio de la física de la colisión
entre la raqueta y la bola. A gran velocidad, una pelota de tenis se aplana casi por completo y
las cuerdas de la raqueta se estiran. (Una
fotografía notable de este hecho se encuentra en Stretchingthe Limits, de Lee Torrey,
donde también se dan más detalles acerca
del punto dulce). La manera en que pelota y
cordaje recuperan su forma determina las
características del vuelo resultante de la
pelota. Medidas detalladas proporcionan
gráficas de las fuerzas y desplazamientos de
las cuerdas al estirarse y al recuperar su
posición natural (véase figura adjunta). Se
observa que la energíaperdida por rozamiento es proporcional al área entre las dos
Fuerza
curvas. Además, el giro de la raqueta depende
de su centro de masa y de su momento de
inercia. Si mencionamos esto aquí es porque
el área entre dos curvas, el centro de masa y
el momento de inercia de la raqueta se calcuEstiramiento
lan usando integrales definidas. Discutiremos
Recuperación
el área entre curvas en lasección 5.1 y el centro de masa y los momentos en la sección 5.6.
Compresión

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Capítulo 5

Aplicaciones de la integral definida

La colisión entre una raqueta y una pelota determina la velocidad y el giro de la pelota
tras ser golpeada. Estas características determinan, a su vez, la trayectoria de vuelo de la
pelota (si se está acertado, una grácil curva hacia la esquina de la pista).En la sección 5.4
veremos cómo calcular la longitud de la curva, mientras que el movimiento de un proyectil
(la pelota de tenis, por ejemplo) se analiza en la sección 5.5. La velocidad de la pelota
depende de una cantidad llamada impulso, que introduciremos en la sección 5.6.
Este capítulo pondrá de manifiesto la versatilidad de la integral definida. Aunque será
introducida como un métodopara calcular el área bajo una curva, veremos que se utiliza
para resolver un espectro muy amplio de situaciones. Las aplicaciones contenidas en este
capítulo son sólo una muestra de las que encuentra en Matemáticas, Estadística, Física e
Ingeniería.
Ya hemos considerado la integral definida desde tres perspectivas: gráfica (áreas con
signo), numérica (aproximación por sumas de Riemann) yteórica (teorema fundamental del
Cálculo). Debe tener presentes las tres mientras analizamos cada nueva aplicación, con especial atención al papel que desempeñan en la conexión de cada nuevo problema con la integración. De ese modo se dará cuenta de que el argumento común a todas esas aplicaciones es
la integral definida.

5.1

ÁREA ENTRE CURVAS

Inicialmente, la integral definida se haintroducido, en el Capítulo 4, para calcular el área
bajo una curva. En particular, para cualquier función f(x) ≥ 0 y continua en [a, b], queríamos
hallar el área bajo la curva y = f(x) en el intervalo [a, b]. Empezábamos haciendo una partib–a
ción del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual anchura, ∆x = ᎏᎏ. Los puntos de la
n
partición se denotan por x0 = a, x1 = x0 + ∆x, x2 = x1 + ∆x, y así...