Aplicaciones De La Integral

Aplicaciones de la integral

Área entre dos curvas
Volúmenes de sólidos: método de la rebanada
Volúmenes de sólidos: método del disco
Volúmenes de sólidos: método de la arandela
Volúmenes de sólidos:método de los cascarones
Longitud de una gráfica
Movimiento rectilíneo

“Área
entre dos
curvas”

Área total de una región acotada
por dos curvas definidas en [a,b].

Caso 1: Una de las curvas es elEje X

Si y = f (x) es continua sobre [a, b], entonces el ´area total A acotada por su
gr´afica y el eje x sobre el intervalo est´a dado por
A=

Z

b
a

|f (x)| dx.

Ejemplo: Encuentre el ´area totalacotada por la gr´afica de y = x2 + 2x y el eje X, sobre
el intervalo [ 2, 2].

Solución:

Área total de una región acotada
por dos curvas definidas en [a,b].

Caso 2: Ninguna de las curvas es elEje X

f(x)

El área azul se
calcula con:

Z

g(x)

Caso 2.1

4

f
0

g dx

Caso 2.2

Si f y g son funciones continuas sobre [a, b], entonces el ´area A de la regi´on
acotada por sus gr´aficas sobreel intervalo est´a dado por
A=

Caso 2.1

Z

b
a

|f (x)

g(x)| dx.

Caso 2.2

Ejemplo: Encuentre el ´area de la regi´on acotada por las gr´aficas de las funciones dadas.
Solución:
Hallar los l´ımitesde integraci´
on al resolver
x2 + 4x = x2 + 6

x2 + 4x =
2x2 + 4x

3

x=

3

1) = 0

x=1

3) = 0

1

|f

2(x + 3)(x

6=0

2(x2 + 2x
Z

x2 + 6

g| dx =
=
=

Z

Z

Z

1
3

|( x2 + 6)

(x2 + 4x)| dx

1( x2 + 6)

(x2 + 4x) dx

3
1

2x2
3

4x + 6 dx = 21.33

Ejemplo: Encuentre el ´
area de la regi´
on acotada por las gr´aficas

(0,1)

(-8,-3)

=10.66

Eje Y

Visualizando
a las expresiones

y2 = 1x, 2y = x + 2
Eje X

como funciones
de x

Eje X

Eje X

Eje Y

Eje Y

Ejemplo: Encuentre el ´area de la regi´on acotada por las gr´aficas de las funciones dadas.
Solución:

Hallar los l´ımites deintegraci´
on al resolver
1 y 2 = 2y 2
y 2 = 2y

1

y 2 + 2y

Z

3

y=

3=0

1

|f

(y + 3)(y

2

g| dy =
=
=

Z

Z

Z

3

1) = 0
y=1

1
3

|(1

y2 )

(2y

2)| dy

1

y2 )

(1

(2y

2) dy

3
1

y2
3...