APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS22


APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:
MONOTONIA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Y  OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)
 
EJERCICIOS RESUELTOS
 
1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar,teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva lafunción:
R`(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R`(x)=0 , 
 
-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:
                   f










                   f ´               +       200    -
se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, ysustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0
 
Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local
b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.
c) Lamáxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros
Solución gráfica

 
5. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas  y los intervalos en que esta crece ydecrece.
Solución
Para que la función  tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero.
 V´(t)= 15-18t+3t2, igualando a 0, 3t2-18t+15=0
Simplificando  t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.
Ahora voy a ver  quien  es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars).Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t3-9t2+15t+40
V(0)=40
V(5)=125-225+75+40 =15
V(1)=1-9+15+40= 47
V(6)=216-324+90+40=22
La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.
Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t2-18t+15
     0        1                       5             6        
V’        +    0          -       0        +
Luego V crece desde 0 a 1  y desde 5 a 6, (crece en  (0, 1) unión (5, 6) ) y decrece en el intervalo (1, 5)
 
Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido.
 

6. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallaren que momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?
SOLUCIÓN
Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v.
Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece.También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)
La derivada es:
v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor común  ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex
Igualando a 0 nos  da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto  x =1, (ya q...