Aplicaciones De Las Derivadas I

Rosa Mª Núñez Teruel 
IES Maestro Padilla 

1º Bachillerato CT 

APLICACIONES DE LA DERIVADA I 
 
1.‐ Resuelve los siguientes límites 
e x − e senx
 
 
Sol: 0   
a)  lim
x →0
x2
1
ln (1 + x ) − senxc)  lim
 
Sol:  −  
x →0
x senx
2

 

 

 

 

2 ⎞
⎛ 1
b)  lim⎜
− 2
⎟   
x →1 ln x
x −1⎠
⎝
ln x 2 + 1
d)  lim
 
 
x → −∞
x

(

)

Sol: 1 
Sol: 0 

⎞
⎛1
1 − cos x
1
1
1
⎟⎟    
 
 
Sol:    
 
 
f) lim⎜⎜ −
Sol:  −  
2
x
→
0
6
2
3x
⎝ x ln ( x + 1) ⎠
1⎞
ln x
⎛
g)  lim
  
 
Sol: 0   
 
 
h)  lim⎜ cos ecx − ⎟    
Sol: 0 
x → 0 cot gx
x →0
x⎠
⎝
1
2arctgx − x
ln x − 1
i)  lim
  
 
Sol:    
 
 
j)  lim
   Sol: 1 
x →e x − e
x
→
0
e
2 x − arcsenx
(2 − x )e x − (2 + x )   Sol: 0   
1
ln x
k)  lim
 
 
l)  lim 3
  
 
Sol:   
2
x →0
x →1 3 x − 3
9
x
 
2.‐ Determina, si es posible, el valor del parámetro  a para que la función  f  sea derivable en todo 
0 < x ≤1
⎧ x ln x
su dominio      f ( x ) = ⎨
 
1− x
x >1
⎩a (1 − e )
Sol:  a = 1  
 
 
⎧x+2
x≤0
⎪⎪ x
0 < x <2  
3.‐ Sea la función   f ( x ) = ⎨a . e − b
⎪x 2 − 6x + 8
x≥2
⎪⎩
Calcula  a y b  para que la función sea derivable en  x = 0  
Sol:  a = 1 , b = −1  
 
⎧⎪e − x
x≤0
4.‐ Dada la función  f ( x ) = ⎨ 3
 
⎪⎩ x − x + 1
x>0
a) ¿Es continua en  x = 0? ¿Es continua en su dominio?   
Sol: Es continua 
Sol: Es derivable 
b) ¿Es derivable en  x = 0 ? ¿Es derivable en su dominio?   c) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función  f en el punto de abscisa  x = 1  
Sol:  t ≡ y = 2 x − 1  
d) Calcula las asíntotas, si las tiene   
Sol: No tiene 
 
 
e)  lim
x →0

x≤0
⎧3ax + b
5.‐ Considera la función  f : R → R  la función definida por  f (x ) = ⎨ x (ax +b )
 
x>0
⎩e
Determina  a y b  sabiendo que  f  es derivable 
1
Sol:  a = , b = 1  
3
 
⎧ x 2 + bx + c
x≤0
⎪
  es derivable en  x = 0  
6.‐ Calcula  b y c  sabiendo que la función   f (x ) = ⎨ ln ( x + 1)
x>0
⎪
⎩ x
1
Sol:  b = −
y c = 1 
2
 
⎧ 1
x≠0
1
⎪
7.‐ (Selectividad 2000) Considera la función  f : R → R  definida por  f ( x ) = ⎨1 + e x
 
⎪
x=0
⎩ 0...