Aplicaciones de las derivadas

Valores Críticos del dominio de una función. (Puntos Críticos)
Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función.

Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero,puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexión.

Valores máximos y mínimos absolutos y relativos de una función en un intervalo de su dominio.

Ejemplos:
1) Dada la función [pic] determine los puntos de máximo, mínimo y de inflexión.
Solución:
Para encontrar los puntos de máximos y mínimos, realizar f(x) = f(ε): [pic]
[pic]
Siendo [pic] el punto mínimo y [pic] el puntomáximo.
Para determinar los puntos de inflexión, realizar f(ε) = f(k):
[pic] [pic] [pic]
Siendo [pic] los puntos de inflexión.
[pic]

2) Sea f una función con dominio [a,b] , si tiene un punto crítico δ ε (a,b) si f’(δ) = 0 ó bien f’(x) no existe.
a) Sea [pic] calcula los puntos críticos de f en el intervalo [3,4]
Solución: Calcular la derivada de la función f e igualémosla a cero.
[pic]por lo tanto [pic] las soluciones son [pic] los cuales son los puntos críticos.

3) Encontrar los puntos críticos de la función
[pic]
Solución: Derivamos a la función e igualamos a cero, resolvemos la ecuación resultante.
[pic]
En este caso, la única solución es: [pic] pero la derivada de la función no existe para [pic] por lo que los puntos críticos son: [pic]

Valores máximos y mínimosabsolutos y relativos de una función en un intervalo de su dominio.
Extremos relativos:
La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.
[pic]
f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño)conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.
Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo.
La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos.
[pic]
Ésta definición de extremos relativos deja que tenga f un extremo relativo a un punto extremo de su dominio; las definiciones en algunos libros de texto no lo permiten.Ejemplos:
1) Sea: f(x) = x2 - 2x,   con dominio [0, 4].
Aquí es su gráfica.
[pic]
Mirando la gráfica, se observa que f tiene:
• Un máximo relativo a (0, 0);
• Un mínimo relativo a (1, - 1);
• Un máximo relativo a (4, 8).
2) Estudiar los máximos y mínimos relativos de: f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos laderivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 −3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)

3) [pic]

Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser extremos, pero no puede asegurarse que lo sean. A estos puntos se les llama puntos críticos.

|TABLA DE VALORES |
|X |Y | |
|1/2 |-1/4 |P. Crítico |

[pic]
[pic]
[pic]Extremos absolutos:
Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición:
f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.
f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.
La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.
[pic]
Todos los extremos...