Aplicaciones De Las Ecuaciones Diferenciales En Ingenieria Civil

Sesión No. 6
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
La figura siguiente muestra un circuito que contiene una fuerza electromotriz de V volt (V), un capacitor con capacitancia de C faradios (F) y un resistor con una resistencia de R ohm ().
La caída de voltaje a través del capacitor es Q/C, donde Q es la carga en coulomb (C). La ley de Kirchhoff establece:

pero I(t)=dQ/dt, así tenemosque:

Suponga que la resistencia es de 5, la capacitancia de 0.5F, la batería suministra un voltaje constante de 60V y que la carga inicial es de Q(0)=0C.
Determine la carga y la corriente en el tiempo t.
Considere ahora que:
R=2 , C=0.001F, Q(0)=0 y V(t)=10sen60t-
Determine la carga y la corriente en el tiempo t.

Sesión No. 7
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
 La ley deNewton del enfriamiento, dice que en un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que la temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante T0 del medio que lo rodea.
Al sacar un biscuit del horno, su temperatura es de 300 ºF. Tres minutos después, su temperatura es de 200 ºF.
¿Cuánto demorará en enfriarse hasta una temperaturaambiente de 70 ºF?

2da. Ley de Newton

Despejamos T

Datos para conocer K

=constante=
t=3 min
T=100=dif de temperatura
Ta=70 ºF=Temp. Ambiente
T0=300=Temp. en un tiempo t=0
FÓRMULA

sustituimos k para encontrar t

Sesión No. 8
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
 Sabemos que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada momento.En una prueba realizada con 60 mg de este material se observó que después de 3 hr, solamente el 80 % de la masa permanecía en ese momento. Hallar:
 La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t.
Sea “y” la cantidad de material radiactivo

para t=0, y=60 
c=60
para t=3, y=60(0.8)=48
sustituyendo 
en 
solución 
presente en cualquier tiempo t.
 ¿Qué cantidadpermanece cuando t=5 hr?

 ¿Para que valor de t, la cantidad de material es ¼ de la cantidad inicial?
Para 
tenemos 

aplicando la ley de ln

 Un cuerpo de 2 kg de masa se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial V0=3 m/seg. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad, hallar:
 La ecuación del movimiento

y como 

es decir 
Es unaecuación lineal de primer orden.

para m=2

 La velocidad en un tiempo t=20 seg.

 El tiempo necesario para que el cuerpo llegue a su máxima altura.

es igual

Sesión No. 9
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
 Un cuarto tiene 60 m3 de aire, originalmente libres de monóxido de carbono. Se prende un cigarrillo y el humo, con un contenido de 4.5% de monóxido de carbono, seintroduce con una rapidez de 0.002 m3/min y se deja salir la mezcla con la misma rapidez. Encontrar:
 Una expresión para la concentración de monóxido de carbono en el cuarto cualquier instante.

y la ecuación es

, es decir, 
ec. Lineal no homogénea.

con solución general

para t=0, c=0 entonces 
, con solución particular.

 La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, porejemplo 0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos.
Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración.
Para c=0.00012 tenemos 
De donde t=81.11 min.
t=1 hr 21 min.
Sesión No. 10
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
 Una masa de 98 kg de peso se cuelga de un resorte con lo que éste interrumpe su estado de reposo. Sabiendo que k=4.9 kg/m, hallar el movimiento de lamasa si al soporte del resorte se le imprime una fuerza 
metros.
Se toma el origen del sistema en el centro de gravedad de la masa cuando esta en reposo y sea x el desplazamiento de la masa en un tiempo t.
El alargamiento del resorte es (x-y) entonces.

, 
por lo tanto 
de donde 
, la solución de la E homogénea es

calculando,
xp por el met. de coeficientes indeterminados 
Tenemos:...